克利福德代数

设有域${\displaystyle K}$ 上的向量空间${\displaystyle V}$ ，且其上有二次型${\displaystyle Q:V\to K}$ 。克利福德代数${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 是由${\displaystyle V}$ 生成的最自由的（英语：free algebra）单位代数结合代数，但须满足^[a]

${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\quad \forall v\in V,}$ 

其中左边的平方是该代数中的乘法，而右边的${\displaystyle 1}$ 为其乘法单位元。所谓“最自由”，可以用泛性质严格定义，详见下节。

若${\displaystyle V}$ 为有限维实向量空间，且${\displaystyle Q}$ 非退化，刖${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 可记为${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$ ，表示${\displaystyle V}$ 有一组正交基，其中${\displaystyle p}$ 个基元${\displaystyle e_{i}}$ 满足${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$ ，另有${\displaystyle q}$ 个基元满足${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$ ，而${\displaystyle \mathbb {R} }$ 指明该克利福德代数定义在实域上，即该代数的元素系数皆为实数。此组正交基可藉正交对角化（英语：orthogonal diagonalization）找出。

由${\displaystyle V}$ 生成的自由代数是张量代数${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n}}$ 。换言之，其为${\displaystyle V}$ 自身的${\displaystyle n}$ 重张量积，对所有${\displaystyle n}$ 的直和。故相应的克利福德代数会是该张量代数对元素${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1}$ （${\displaystyle v}$ 取遍${\displaystyle V}$ 的元素）生成的双边理想的商。张量积导出在商代数的乘积以串接表示（例如${\displaystyle uv}$ ）。其结合律由张量积的结合律推出。

克利福德代数有指明的子空间${\displaystyle V}$ ，即嵌入的像。若只得与克利福德代数同构的${\displaystyle K}$ 代数，则一般无法唯一确定该子空间。

若底域${\displaystyle K}$ 的特征不为${\displaystyle 2}$ ，则可将基本恒等式${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\ \forall v\in V}$ 重写成

${\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\quad \forall u,v\in V,}$ 

其中

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$ 

定义的对称双线性形式与二次型${\displaystyle Q}$ 之间有极化恒等式。

特征为${\displaystyle 2}$ 的二次型与克利福德代数为特例。具体而言，若${\displaystyle \mathrm {char} (K)=2}$ ，则对于二次型${\displaystyle Q}$ ，式${\displaystyle Q(v)=\langle v,v\rangle }$ 未必唯一确定某个对称双线性型${\displaystyle \langle \bullet ,\bullet \rangle }$ ，${\displaystyle Q}$ 也未必有正交基。本条目不少命题的条件皆要求特征不为${\displaystyle 2}$ ，而若允许特征为${\displaystyle 2}$ ，则命题不再成立。

作为外代数的量子化

克利福德代数与外代数密切相关。外代数是克利福德代数的特例：若在克利福德代数的定义中，取${\displaystyle Q=0}$ ，则克利福德代数${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 就是外代数${\displaystyle \wedge (V)}$ 。即使${\displaystyle Q}$ 非零，只要基域${\displaystyle K}$ 的特征非${\displaystyle 2}$ ，${\displaystyle \wedge (V)}$ 和${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 之间仍有典范的线性同构。换言之，两者作为向量空间自然地同构，但其上的乘法有分别。特征为${\displaystyle 2}$ 时，两者仍线性同构，然而该同构并非自然。克利福德代数的乘法和指定的子空间是比外代数更丰富的结构，因为用到${\displaystyle Q}$ 提供的额外资讯。

克利福德代数为滤套代数（英语：filtered algebra），而相伴的分次代数（英语：Associated graded ring）为外代数。

具体而言，克利福德代数可视为外代数的“量子化”（见量子群），正如外尔代数（英语：Weyl algebra）为对称代数（英语：symmetric algebra）的量子化。

外尔代数和克利福德代数还具有*-代数（英语：*-algebra）的结构，并能整合成某个超代数（英语：superalgebra）的偶次和奇次项，见典范对易与反对易关系代数（英语：CCR and CAR algebras）。

设${\displaystyle V}$ 为域${\displaystyle K}$ 上的向量空间，${\displaystyle Q:V\to K}$ 为${\displaystyle V}$ 上的二次型。多数情况下，域${\displaystyle K}$ 是实域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或复域${\displaystyle \mathbb {C} }$ ，或有限域${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ 。

克利福德代数${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 定义为有序对${\displaystyle (A_{0},i)}$ ，^[b][5]其中${\displaystyle A_{0}}$ 为${\displaystyle K}$ 上的单位结合代数，而线性映射${\displaystyle i:V\to \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 满足对任意${\displaystyle v\in V}$ ，皆有${\displaystyle i(v)^{2}=Q(v)1}$ ，且${\displaystyle (A_{0},i)}$ 满足下列泛性质：给定${\displaystyle K}$ 上任何单位结合代数${\displaystyle A}$ 和线性映射${\displaystyle j:V\to A}$ 令

${\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}\quad \forall v\in V}$ 

（其中${\displaystyle 1_{A}}$ 表示${\displaystyle A}$ 的乘法单位元），必有唯一的代数同态${\displaystyle f:\mathrm {Cl} (V,Q)\to A}$ 使得以下图表可交换（即${\displaystyle f\circ i=j}$ ：

二次型${\displaystyle Q}${\displaystyle Q}  可换成满足${\displaystyle \langle v,v\rangle =Q(v)}$ 的（无需对称的）双线性形式${\displaystyle \langle \bullet ,\bullet \rangle }$ ，此时${\displaystyle j}$ 需满足的条件等价于

以上描述的克利福德代数必定存在，能藉以下一般方法构造：先选取由${\displaystyle V}$ 生成的最自由的代数，即张量代数${\displaystyle T(V)}$ ，然后藉取商，保证基本恒等式成立。对于克利福德代数，所需${\displaystyle T(V)}$ 的双边理想${\displaystyle I_{Q}}$ 是由所有形如

${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1}$ 

的元素生成，其中${\displaystyle v}$ 取遍${\displaystyle V}$ 的元素，随后便可定义${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 为商代数${\displaystyle T(V)/I_{Q}}$ 。

商承继的环乘积有时称为克利福德积^[6]:8–9，以免与外代数的外积${\displaystyle \wedge }$ 或标量积${\displaystyle \,\cdot \,}$ 混淆。

有上述${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 的构造后，可以直接验证${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 包含${\displaystyle V}$ ，且满足所需的泛性质。而由泛性质，可知${\displaystyle \mathrm {Cl} }$ 在唯一同构的意义下唯一，故在此意义下，可当克利福德代数必定由上述构造给出。从构造可知，${\displaystyle i}$ 是单射，故通常隐藏${\displaystyle i}$ 而视${\displaystyle V}$ 为${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 的线性子空间。

因为克利福德代数可由泛性质定义，所以${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 的构造具函子性，即${\displaystyle \mathrm {Cl} }$ 为函子，其定义域为具有二次型的${\displaystyle K}$ -向量空间组成的范畴（其态射为保二次型的线性映射），陪域为结合${\displaystyle K}$ -代数范畴。泛性质保证，向量空间之间保二次型的线性映射，唯一扩展成相应的克利福德代数的代数同态。

由于${\displaystyle V}$ 已配备二次型${\displaystyle Q}$ ，在特征非${\displaystyle 2}$ 时，${\displaystyle V}$ 有一组正交基，即其元素${\displaystyle e_{i}}$ 满足

${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0\quad (i\neq j)}$ ，及${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i})}$ 。

基本克利福德恒等式推出，对于正交基，有

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\quad (i\neq j)}$ ，及${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i})}$ 。

此关系使正交基元间的运算很容易。给定${\displaystyle V}$ 中两两互异的正交基元的乘积${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$  ，可以将各因子按顺序排好，而仅需依照排列的奇偶性在前面加上正负号。

若${\displaystyle V}$ 在${\displaystyle K}$ 上的维数为${\displaystyle n}$ ，且${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$ 为${\displaystyle (V,Q)}$ 的正交基，则${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 为${\displaystyle K}$ 上的向量空间，其一组基为

${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n,\ 0\leq k\leq n\}}$ .

在上式中，空乘积（${\displaystyle k=0}$ ）定义为乘法单位元。由于每个${\displaystyle e_{i}}$ 可以出现或不出现在乘积中，${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 的维数（即基的大小）为

${\displaystyle \dim \operatorname {Cl} (V,Q)=2^{n}.}$ 

克利福德代数的重要例子源自实或复向量空间及其上非退化的二次型给出。

本节的例子${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$ 和${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )}$ 皆同构于某个${\displaystyle A}$ 或${\displaystyle A\oplus A}$ ，其中${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、${\displaystyle \mathbb {C} }$ 或${\displaystyle \mathbb {H} }$ 上的全个矩阵环。此类代数的完整分类，见克利福德代数的分类（英语：Classification of Clifford algebras）。

实域上

克利福德代数有时称为几何代数（英语：Geometric algebra），尤其定义在实域上时。

有限维实向量空间上的非退化二次型必等价于某个标准对角型：

${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$ 

其中${\displaystyle n=p+q}$ 为向量空间的维数。非负整数对${\displaystyle (p,q)}$ 称为二次型的符号（英语：metric signature）。配备此二次型的实向量空间一般记为${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ，而${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ 生成的克利福德代数则记为${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$ 。${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {R} )}$ 可能表示${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n,0}(\mathbb {R} )}$ 或${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,n}(\mathbb {R} )}$ ，视乎作者偏好二次型正定抑或负定。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ 的标准基${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$ 由${\displaystyle n=p+q}$ 支两两正交的向量组成，其中${\displaystyle p}$ 支的平方为${\displaystyle +1}$ ，其余${\displaystyle q}$ 支的平方则为${\displaystyle -1}$ 。于是，代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$ 中，也有该${\displaystyle p}$ 支向量的平方为${\displaystyle +1}$ ，该${\displaystyle q}$ 支向量的平方为${\displaystyle -1}$ 。

低维的例子有：

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,0}(\mathbb {R} )}$ 与${\displaystyle \mathbb {R} }$ 自然同构，因为并无非零向量。

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}$ 为由${\displaystyle e_{1}}$ （其平方为${\displaystyle -1}$ ）生成的二维代数，从而与复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 代数同构。

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}$ 为由${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{1}e_{2}\}}$ 张成的四维代数。后三个基元的平方皆为${\displaystyle -1}$ ，且两两相反交换，故代数与四元数系${\displaystyle \mathbb {H} }$ 同构。

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$ 为八维代数，与直和（英语：Direct sum of modules）${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$ （分裂复四元数系（英语：split-biquaternion））同构。

复域上

也可以研究复域上的克利福德代数。${\displaystyle n}$ 维复向量空间上，每个非退化二次型都等价于标准对角型

${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$ 

由此，对每个维数${\displaystyle n}$ ，在同构意义下，恰有一个克利福德代数定义在配备非退化二次型的${\displaystyle n}$ 维复向量空间上，记为${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )}$ 。

最小的几个例子为：

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} }$ ，复数系，

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} }$ ，双复数系，

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbb {C} )\cong M_{2}(\mathbb {C} )}$ ，复四元数系，其中${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$ 表示复域上的${\displaystyle n\times n}$ 矩阵组成的代数。

四元数

本节将会构造哈密顿的四元数系，作为克利福德代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$ 的偶子代数。

设${\displaystyle V}$ 为实三维向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ，二次型${\displaystyle Q}$ 为欧氏度量的相反数，则对于${\displaystyle v,w\in \mathbb {R} ^{3}}$ ，相应的标量积（双线性型）由

${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}}$ 

给出。

现引入向量${\displaystyle v,w}$ 的克利福德积${\displaystyle vw}$ ，使其满足

${\displaystyle vw+wv=-2(v\cdot w).}$ 

（此处有负号，以使该代数与四元数的联系更清晰。）

设${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ 为${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 的一组正交单位基，则由上式可知，其两两的克利福德积满足

${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$ 

且

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1.}$ 

克利福德代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$ 的任意元素可以表示成

${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{3}e_{1}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$ 

若只考虑偶次项，则得到偶子代数${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}^{[0]}(\mathbb {R} )}$ ，其任意元素可表示成

${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{3}e_{1}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$ 

若定义四元数的基元${\displaystyle i,j,k}$ 为

${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},}$ 

则可知${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}^{[0]}(\mathbb {R} )}$ 与哈密顿的实四元数代数同构，理由是：

${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$ 

${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k,}$ 

且

${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}e_{1}e_{2}=-1,}$ 

与四元数的运算法则一致。

二元四元数

本节构造二元四元数系（英语：dual quaternion），作为配备退化二次型的实四维向量空间的偶克利福德代数。^[7][8]

设向量空间${\displaystyle V}$ 为实四维空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ，并设二次型${\displaystyle Q}$ 为源自${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 上欧氏度量的退化型，即相应的双线性型${\displaystyle d}$ 满足：对任意${\displaystyle v,w\in \mathbb {R} ^{4}}$ ，

${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$ 

换言之，此退化标量积只考虑将${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 投影到${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 后的像。

向量${\displaystyle v,w}$ 的克利福德积${\displaystyle vw}$ 由下式定义：

${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$ 

同上节，负号是为了明确该代数与四元数系的对应关系。

记${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 的标准基元为${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$ ，则其克利福德积满足关系

${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m}\,\,\,(m\neq n),}$ 

及

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$ 

克利福德代数${\displaystyle \mathrm {Cl} (\mathbb {R} ^{4},d)}$ 也记为${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3,1}(\mathbb {R} )}$ （下标分别表示平方为${\displaystyle +1,-1,0}$ 的基元个数），其一般元素有16项，而仅取偶次项时，得到偶子代数${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(\mathbb {R} ^{4},d)}$ ，其一般元素形如

${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$ 

于是，可分别定义四元数基元${\displaystyle i,j,k}$ 和二元数基元${\displaystyle \varepsilon }$ 为

${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4},}$ 

从而给出${\displaystyle \mathrm {Cl} (\mathbb {R} ^{4},d)}$ 与二元四元数（英语：dual quaternion）代数的同构。

要验证二元四元数的乘法法则，可以计算

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$ 

和

${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$ 

后者的计算中，${\displaystyle e_{1}}$ 和${\displaystyle e_{4}}$ 的换位将符号改变了偶数次（即无改变）。同样的方法能证明，二元数基元${\displaystyle \varepsilon }$ 可与全部四元数基元${\displaystyle i,j,k}$ 交换。

设${\displaystyle K}$ 为特征非${\displaystyle 2}$ 的域。

一维

对于${\displaystyle \dim V=1}$ 的情况，若${\displaystyle Q}$ 有对角化${\displaystyle \mathrm {diag} (a)}$ ，即存在非零向量${\displaystyle v\in V}$ 令${\displaystyle Q(v)=a}$ ，则${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 代数同构于${\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)}$ ，即由满足${\displaystyle x^{2}=a}$ 的单一个元素${\displaystyle x}$ 生成的${\displaystyle K}$ -代数。

更具体而言，有三种情况：

1. 若${\displaystyle a=0}$ （即${\displaystyle Q}$ 为零二次型），则${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 代数同构于${\displaystyle K}$ 上的二元数代数。
2. 若${\displaystyle a}$ 非零，且为${\displaystyle K}$ 中的平方数，则${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)\cong K\oplus K}$ 。
3. 其余情况下，${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 同构于${\displaystyle K}$ 的二次域扩张${\displaystyle K({\sqrt {a}})}$ 。

二维

对于${\displaystyle \dim V=2}$ 的情况，若${\displaystyle Q}$ 有对角化${\displaystyle \mathrm {diag} (a,b)}$ ，其中${\displaystyle a,b}$ 皆非零（${\displaystyle Q}$ 非退化时必然存在），则${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 同构于由${\displaystyle x,y}$ 生成的${\displaystyle K}$ -代数，其中${\displaystyle x,y}$ 满足${\displaystyle x^{2}=a,\ y^{2}=b,\ xy=-yx}$ 。

于是${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 同构于（广义）四元数代数（英语：quaternion algebra）${\displaystyle (a,b)_{K}}$ 。在${\displaystyle a=b=-1}$ 且${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ 时，该代数化归为哈密顿的四元数代数，即${\displaystyle \mathbb {H} =(-1,-1)_{\mathbb {R} }}$ 。

作为特殊情况，若有某个${\displaystyle x\in V}$ 使得${\displaystyle Q(x)=1}$ ，则${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)\cong M_{2}(K)}$ 是二阶方阵的代数。

与外代数的关系

给定向量空间${\displaystyle V}$ ，可以构造外代数${\displaystyle \wedge (V)}$ ，其定义不取决于${\displaystyle V}$ 上任何二次型。事实上，若${\displaystyle K}$ 的特征非${\displaystyle 2}$ ，则${\displaystyle \wedge (V)}$ 与${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 作为向量空间自然同构（而在特征${\displaystyle 2}$ 时，仍有同构，但不一定自然）。该自然同构当且仅当${\displaystyle Q=0}$ 时为代数同构。所以，可以将克利福德代数${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 视为${\displaystyle V}$ 的外代数额外配备取决于${\displaystyle Q}$ 的乘法。（准确而言是外代数的“量子化”，见#作为外代数的量子化。）原有的外积仍有不取决于${\displaystyle Q}$ 的定义。

描述以上同构的简单方法是：先取${\displaystyle V}$ 的正交基${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$ ，并扩展成${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 的基（如#基与维数所述）。定义映射${\displaystyle f:\mathrm {Cl} (V,Q)\to \wedge (V)}$ 使

${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},}$ 

并线性扩展。注意此处用到${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$ 正交。可以证明，映射${\displaystyle f}$ 的定义无关正交基的选择，故为自然同构。

若${\displaystyle K}$ 的特征为${\displaystyle 0}$ ，则也可以藉反对称化（antisymmetrizing）定义以上同构：定义一列映射${\displaystyle f_{k}:\underbrace {V\times \cdots \times V} _{k}\to \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 使

${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)},}$ 

其求和符号中，${\displaystyle \sigma }$ 取遍${\displaystyle k}$ 阶对称群${\displaystyle S_{k}}$ 的元素。由于${\displaystyle f_{k}}$ 反对称，其导出独一个映射${\displaystyle f_{k}':\wedge ^{k}(V)\to \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 。该些映射的直和（英语：Direct sum of modules）为${\displaystyle \wedge (V)}$ 至${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 的线性映射。可以证明该映射为同构，且是自然同构。

也可以从更高等的观点，在${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 上构造滤过（英语：Filtered algebra），以看待两者的关系。注意张量代数${\displaystyle T(V)}$ 有自然滤过${\displaystyle F^{0}\subset F^{1}\subset F^{2}\subset \cdots }$ ，其中${\displaystyle F^{k}}$ 含所有阶不高于${\displaystyle k}$ 的张量。将此滤过投射到克利福德代数上，就得到${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 上的滤过。与此滤过相伴的分次代数（英语：associated graded algebra）

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$ 

与外代数${\displaystyle \wedge (V)}$ 自然同构。由于滤过代数的相伴分次代数总与原滤过代数作为滤过向量空间同构（藉选取${\displaystyle F^{k}}$ 在${\displaystyle F^{k+1}}$ 中的补集），可知克利福德代数与外代数在任何特征（包括${\displaystyle 2}$ ）下皆同构（尽管不一定自然）。

分次

本节假设特征非${\displaystyle 2}$ 。^[c]

克利福德代数为${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ -分次代数（英语：graded algebra）（又称为超代数（英语：superalgebra）），以下说明原因。在${\displaystyle V}$ 上，线性映射${\displaystyle v\mapsto -v}$ （关于原点对称）保持二次型${\displaystyle Q}$ ，故由克利福德代数的泛性质，该线性映射延拓成代数自同构

${\displaystyle \alpha :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}$ 

由于${\displaystyle \alpha }$ 为对合（即其平方为恒同映射），可以将${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 分解成${\displaystyle \alpha }$ 的正和负特征空间：

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q),}$ 

其中

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$ 

由于${\displaystyle \alpha }$ 是自同构，有：

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q),}$ 

其中方括号上标的运算模${\displaystyle 2}$ ，故上式赋予${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 作为${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ -分次代数（英语：graded algebra）的结构。子空间${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)}$ 为${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 的子代数（英语：subalgebra），称为偶子代数。而子空间${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$ 则称为奇部（其不为子代数）。此${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ -分次在克利福德代数的分析和应用上很重要。自同构${\displaystyle \alpha }$ 称为主对合（main involution）或次数对合（grade involution）。此${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ -分次中的纯元素，即偶部或奇部的元素，分别称为偶元和奇元。

当特征非${\displaystyle 2}$ 时，由于${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 与外代数${\displaystyle \wedge (V)}$ 有典范同构，${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 作为向量空间，承继${\displaystyle \wedge (V)}$ 的${\displaystyle \mathbb {N} }$ -分次和${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -分次。^[d]然而，该分次仅为向量空间分次，而非代数分次。换言之，克利福德乘积并不遵守该${\displaystyle \mathbb {N} }$ -分次或${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -分次，仅遵守上段的${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ -分次：例如，若${\displaystyle Q(v)\neq 0}$ ，则${\displaystyle v\in \mathrm {Cl} ^{1}(V,Q)}$ ，但${\displaystyle v^{2}\in \mathrm {Cl} ^{0}(V,Q)}$ ，而不在${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{2}(V,Q)}$ 中。不过此等分次之间有自然的联系：${\displaystyle \mathbb {Z} /2\cong \mathbb {N} /2\mathbb {N} \cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ 。更甚者，克利福德代数有${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -滤过（英语：filtered algebra）：

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$ 

克利福德数的次数通常指${\displaystyle \mathbb {N} }$ -分次的次数。

克利福德代数的偶子代数${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)}$ 本身亦同构于某个克利福德代数。^[e][f]若${\displaystyle V}$ 为具有非零范数${\displaystyle Q(a)}$ 的向量${\displaystyle a}$ 与子空间${\displaystyle U}$ 的正交直和，则${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)}$ 同构于${\displaystyle \mathrm {Cl} (U,-Q(a)Q)}$ ，其中${\displaystyle -Q(a)Q}$ 为二次型${\displaystyle Q}$ 乘上${\displaystyle -Q(a)}$ ，并限制到${\displaystyle U}$ 。作为例子，以上结论在实域上推出：

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbb {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbb {R} ),&q>0,\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbb {R} ),&p>0.\end{cases}}}$ 

在${\displaystyle Q}$ 负定的情况下，上式给出包含关系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,n-1}(\mathbb {R} )\subset \mathrm {Cl} _{0,n}(\mathbb {R} )}$ ，延伸序列

${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \cdots }$ 

类似可证，在复域上, ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )}$ 的偶子代数同构于${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n-1}(\mathbb {C} )}$ 。

反自同构

除自同构${\displaystyle \alpha }$ 外，克利福德代数的分析中，还有两个重要的反自同构（英语：antiautomorphism）。记得张量代数${\displaystyle T(V)}$ 有将全部乘法次序反转的反自同构：

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$ 

由于理想${\displaystyle I_{Q}}$ 在该反转下不变，该反转也定义${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)\cong T(V)/I_{Q}}$ 上的反自同构，称为转置或反转，记为${\displaystyle x\mapsto x^{\mathrm {t} }}$ 。转置为反自同构，即有${\displaystyle (xy)^{\mathrm {t} }=y^{\mathrm {t} }x^{\mathrm {t} }}$ 。上述定义中，并未用到${\displaystyle \mathrm {Z} /2}$ -分次，故可复合自同构${\displaystyle \alpha }$ 与转置，而得另一个反自同构。新的反自同构称为克利福德共轭，记为${\displaystyle x\mapsto {\overline {x}}}$ 。以符号表示：

${\displaystyle {\overline {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$ 

两个反自同构中，转置更本质。^[g]

此三种运算皆是对合。此外，其对${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -分次纯元的作用皆是乘上${\displaystyle \pm 1}$ ，且符号仅取决于次数${\displaystyle {\bmod {4}}}$ 。换言之，若${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle k}$ 次纯元，则

${\displaystyle \alpha (x)=\pm x,\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x,\qquad {\overline {x}}=\pm x,}$ 

其中符号载于下表：

克利福德标量积

当特徴非${\displaystyle 2}$ 时，${\displaystyle V}$ 上的二次型${\displaystyle Q}$ 可以延拓成${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 上的二次型（同样记为${\displaystyle Q}$ ）。该延拓可用以下不取决于基的方式定义：

${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0},}$ 

其中${\displaystyle \langle a\rangle _{0}}$ 表示${\displaystyle a}$ 的标量部分（${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -分次的零次项）。可以证明，对于${\displaystyle V}$ 的元素${\displaystyle v_{i}}$ ，有

${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k}),}$ 

但上式对${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 的其他元素不一定成立。

在${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 上，与${\displaystyle Q}$ 相伴的对称双线性型由下式定义：

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$ 

可以验算，若限制在${\displaystyle V}$ 上，则该双线性型化为${\displaystyle V}$ 上原有的双线性型。在${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$ 上，该双线性型非退化当且仅当其限制在${\displaystyle V}$ 上非退化。