切空间

一个n维的流形可理解为由多个同为n维的曲面（超曲面）。一般情况下，因为所有流形可以嵌入欧几里得空间，流形上的光滑函数就是欧几里得空间中的光滑函数。欧几里得空间的优势在于可以进行微分，透过微分流形（differential manifold）的代数关系，可以将欧几里得空间中的微积分搬上光滑流形。切空间也可以理解为在该点和流形相切的欧几里得空间的仿射子空间（affine space）。

所有切线空间可以“胶合在一起”，并形成基于原流形两倍维度的可微分流形（differentiable manifold），称之流形的切丛（tangent bundle）。

上述的非正式描述依赖于嵌入在较大向量空间 R^m, 使得切向量可以从流形延伸出到更大的空间。切空间更好的定义不依赖于这种嵌入，^[1]例如，切向量可以定义为通过该点的曲线的等价类，或者是对光滑函数在该点的在某个方向上的求导。但所有这些定义都是等价的。虽然通过曲线的速度的定义是直观上最简单的，但是也是挺麻烦的工作。更加优雅和抽象的方法描述如下。

曲线速度定义

在嵌入的流形图（manifold picture）中，点x处的切向量被认为是通过点x的曲线的“速度”。因此，我们可以取切向量作为通过x的曲线的等价类（equivalence class），而在x处彼此相切。

假设 M是C^k流形(k ≥ 1)，x是M中的点。选择图表 ： φ : U → Rⁿ，其中U是包含x的M的开子集。假设两个曲线γ₁ : (−1,1) → M 和 γ₂ : (−1,1) → M，其中γ₁(0) = γ₂(0) = x，使得φ ∘ γ₁和 φ ∘ γ₂都可以在0处微分。然后，如果在0处的正常导数（ordinary derivatives）φ ∘ γ₁与φ ∘ γ₂在0处的正常导数一致（coincide），则γ₁ 和 γ₂在0处被称为等价。这定义此曲线上的等价关系，并且等价类被称为在x处的 M的切线向量。

导数定义

假设M是C^∞流形。如果f ∘ φ⁻¹对于每个图表： φ : U → Rⁿ是无限可微的，则实值函数f : M → R属于C^∞(M)。C^∞(M)是点积乘积（pointwise product）和函数总和（sum of functions）与标量乘法（scalar multiplication）的实关联代数（associative algebra）。

在M中选择一个点x。在x处的导数是线性映射D : C^∞(M) → R，其具有对于C^∞(M)中的所有f, g的性质：

${\displaystyle D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g)}$ 

根据微积分的乘法规则（product rule）建模。如果我们为这样的导数定义加法和标量乘法

${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f)=D_{1}(f)+D_{2}(f)}$  以及 ${\displaystyle (\lambda D)(f)=\lambda D(f)}$ 

我们得到一个实际的向量空间，我们定义为切空间T_xM。

余切空间的定义

再一次，我们从C^∞流形M 开始，并且点x 在M中。考虑由所有函数f 组成的C^∞(M)中的理想I，使得f(x) = 0。也就是说，定义通过x的曲线或表面之类的函数。然后I和I  ²是实向量空间，并且T_xM可以被定义为商空间（quotient space ）I / I ²的对偶空间（dual space）。后者之商空间也被称为x处的流形M 之余切空间。

如果 M是Rⁿ的开子集（open subset），则 M是C^∞流形的自然形式（将图视为恒等函数），并且切线空间都自然以Rⁿ加以识别。

正切向量作为方向性导数

另一种考虑切向量的方法是方向导数。给定Rⁿ中的向量v定义了在点x处的平滑映射f : Rⁿ → R的方向导数

${\displaystyle D_{v}f(x)=\left.{\frac {d}{dt}}f(x+tv)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}$ 

这个映射是自然的导数。此外，结果是C^∞(Rⁿ)的每个推导具有这种形式。因此，在向量（在一点被认为是切向量）和导数之间存在一对一映射。

映射导数

每个平滑（或可微）流形的映射φ : M → N在相应的切线空间之间引导自然线性映射：

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$ 

如果切线空间通过曲线定义，则地图定义为

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$ 

相反，如果通过导数定义切线空间，则

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ).}$ 

线性图dφ_x被称为x的导数、总导数、微分或前推（pushforward）。它经常用各种符号表示：

${\displaystyle D\varphi _{x},\quad (\varphi _{*})_{x},\quad \varphi '(x).}$ 

在某种意义上，导数是对于x附近的φ的最佳线性近似。注意，当N = R时，映射dφ_x : T_xM → R与函数φ的微分的通常概念一致。在局部坐标中，φ的导数可由雅可比矩阵给出。