恒等函数

恒等函数(英语:Identity function)是数学中对于传回和其输入值相同的函数的称呼。换句话说,恒等函数为函数

定义

设M为一集合,于M上的恒等函数f被定义于一具有定义域陪域M的函数,其对任一M内的元素x,会有 的关系。

于M上的恒等函数f通常标记为  

代数性质

f : M → N为任一函数,则会有f o idM = f = idN o f(其中"o"为函数复合)。特别地是,idM会是所有由MM的函数所组成之幺半群单位元

因为幺半群的单位元是唯一的,也可以反过来把M上的恒等函数定义为这个幺半群的单位元。此一定义广义化成了于范畴论恒等态射的概念,其中M自同态并不必然是函数。

例子

  • 于正整数上的恒等函数为一数论中的完全积性函数
  • 在任意一个 n向量空间内,恒等函数表示成单位矩阵In,不论其为何。
  • 在任意一个度量空间,恒等函数很当然地为等距同构。一无任何对称的物件会有一对称群,即只包含这个恒等函数的平凡群C1

参见

  • 内含映射