向量空间

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向量空间是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的基本对象，是指一组向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律。

向量空间是可以缩放和相加的（叫做向量的）对象的集合

在现代数学中，向量的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定义

给定域 $F$ ， $F$ 上的向量空间 $V$ 是一个集合，其上定义了两种二元运算：

向量加法 $+ : V + V \to V$ ，把 $V$ 中的两个元素 $u$ 和 $v$ 映射到 $V$ 中另一个元素，记作 $u + v$ ；
标量乘法 $\cdot : F \times V \to V$ ，把 $F$ 中的一个元素 $a$ 和 $V$ 中的一个元素 $u$ 变为 $V$ 中的另一个元素，记作 $a \cdotu$ 。

$V$ 中的元素称为向量，相对地， $F$ 中的元素称为标量。

而集合 $V$ 公理^[1]才构成一个向量空间（对 $F$ 中的任意元素 $a$ 、 $b$ 以及 $V$ 中的任意元素 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 都成立）：

公理	说明
向量加法的结合律	$u + (v + w) = (u + v) + w$
向量加法的交换律	$u + v = v + u$
向量加法的单位元	存在一个叫做零向量的元素 $0 \in V$ ，使得对任意 $u \in V$ 都满足 $u + 0 = u$
向量加法的逆元素	对任意 $v \in V$ 都存在其逆元素 $- v \in V$ 使得 $v + (- v) = 0$
标量乘法与标量的域乘法相容	$a (b v) = (ab) v$
标量乘法的单位元	域 $F$ 存在乘法单位元 $1$ 满足 $1 v = v$
标量乘法对向量加法的分配律	$a (u + v) = a u + a v$
标量乘法对域加法的分配律	$(a + b) v = a v + b v$

前四个公理说明装备了向量加法的 $V$ 是交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“ $+$ ”和标量之间的加法“ $+$ ”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法 $\cdot$ 和两个标量之间的乘法（域 $F$ 中自带的乘法）也是不一样的。

简而言之，向量空间是一个 $F$ −模。

基本性质

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：

零向量0是唯一的；
对任意 $a \in F$ ， $a \cdot$ 0 = 0；
对任意 $u \in V$ ，0 $\cdotu$ = 0（0是 $F$ 的加法单位元）。
如果 $a \cdotu$ = 0，则要么 $a$ = 0，要么 $u$ = 0。
向量加法的逆向量 $v$ 是唯一的，记作 $- v$ 。 $u + (- v)$ 也可以写成 $u - v$ ，两者都是标准的。
对任意 $u \in V$ ，−1 $\cdotu = - u .$
对任意 $a \in F$ 以及 $u \in V$ ， $(- a) \cdotu = - (a \cdotu) = a \cdot (- u).$

例子

对一般域 $F$ ， $V$ 记为 $F$ -向量空间。若 $F$ 是实数域 $ℝ$ ，则 $V$ 称为实数向量空间；若 $F$ 是复数域 $ℂ$ ，则 $V$ 称为复数向量空间；若 $F$ 是有限域，则 $V$ 称为有限域向量空间。

最简单的 $F$ -向量空间是 $F$ 自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当 $F$ 是实数域 $ℝ$ 时，可以验证对任意实数 $a$ 、 $b$ 以及任意实数 $u$ 、 $v$ 、 $w$ ，都有：

$u + (v + w) = (u + v) + w$ ，
$v + w = w + v$ ，
零元存在：零元 $0$ 满足：对任何的向量元素 $v$ ， $v + 0 = v$ ，
逆元素存在：对任何的向量元素 $v$ ，它的相反数 $w = -v$ 就满足 $v + w = 0$ 。
标量乘法对向量加法满足分配律： $a (v + w) = a v + a w$ .
向量乘法对标量加法满足分配律： $(a + b) v = a v + b v$ .
标量乘法与标量的域乘法相容： $a (b v) =(ab) v$ 。
标量乘法有单位元： $ℝ$ 中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数 $v$ ， $1 v = v$ 。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点 $P$ 都有一个坐标 $P(x,y)$ ，并对应着一个向量 $(x,y)$ 。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组 $(x,y)$ 。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝⁿ也是向量空间的例子。其中的向量表示为 $v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ ，其中的 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}

，

v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})

\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合 $\mathbb {R} [X]$ 。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法， $\mathbb {R} [X]$ 也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合 ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ 也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

3x+2y-z=0

x+5y+2z=0

如果 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 都是解，那么可以验证它们的“和” $(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$ 也是一组解，因为：

3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0

(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

f''+4xf'+\cos(x)f=0

出于和上面类似的理由，方程的两个解 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的和函数 $f_{1}+f_{2}$ 也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空间基底

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间 ${0}$ 。

给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。

给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V的线性无关子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列： $\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$ ，那么空间中的每一个向量v便可以通过坐标系统来呈现：

v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基 $\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$ ，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}

那么v可以用数组 $v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$ 来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

e_{1}=(1,0,\cdots ,0)

e_{2}=(0,1,\cdots ,0)

e_{n}=(0,0,\cdots ,1)

可以证明，存在从任意一个n维的 $\mathbf {F}$ -向量空间到空间 $\mathbf {F} ^{n}$ 的双射。这种关系称为同构。

线性映射

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

f:\,V\rightarrow W

\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)

所有线性变换的集合记为 ${\mathcal {L}}(V,W)$ ，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后， ${\mathcal {L}}(V,W)$ 中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构 $f:\,V\rightarrow W$ ，那么其逆映射 $g:\,W\rightarrow V$ 也存在，并且对所有的 $x\in V,\,y\in W$ ，都有：

g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y

概念化及额外结构

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。
一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。
一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。

参考文献

《中国大百科全书》
Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, 编辑
1. ^ Roman 2005, ch. 1, p. 27
外部链接

[1] Roman 2005, ch. 1, p. 27

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