外积

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定${\displaystyle m\times 1}$  列向量${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和${\displaystyle 1\times n}$  行向量${\displaystyle \mathbf {v} }$ ，它们的外积${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ 被定义为${\displaystyle m\times n}$ 矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$ ，结果出自

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} }$ 

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}}$ 

对于复数向量，习惯使用${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的复共轭(指示为${\displaystyle {\bar {\mathbf {v} }}}$ )，因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空间的元素：

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} {\bar {\mathbf {v} }}}$ 

如果${\displaystyle \mathbf {v} }$ 是列向量，定义变为：

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{*}}$ 

这里的${\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}$ 是${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的共轭转置。

相对于外积

如果${\displaystyle \mathbf {v} }$ 是列向量，而且m = n，则可以采用其他方式的积，生成一个标量(或${\displaystyle 1\times 1}$ 矩阵):

${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \right\rangle =\mathbf {v} \mathbf {u} }$ 

它是欧几里得空间的标准内积，常叫做点积。

给定向量${\displaystyle v\in V}$ 和余向量${\displaystyle w^{*}\in W^{*}}$ ，张量积${\displaystyle v\otimes w^{*}}$ 给出映射${\displaystyle A\colon W\to V}$ ，在同构${\displaystyle \mathrm {Hom} (W,V)=W^{*}\otimes V}$ 之下。

具体的说，给定${\displaystyle w\in W}$ ，

${\displaystyle A(w):=w^{*}(w)v}$ 

这里的${\displaystyle w^{*}(w)}$ 是${\displaystyle w^{*}}$ 在w上的求值，它生成一个标量，接着乘v。

可作为替代，它是${\displaystyle w^{*}\colon W\to K}$ 与${\displaystyle v\colon K\to V}$ 的复合。

如果${\displaystyle W=V}$ ，则还可以配对${\displaystyle w^{*}(v)}$ ，这是内积。

• 内积
• 叉积
• 张量积