二元运算

给定集合 ${\displaystyle A}$ ，二元函数 ${\displaystyle \mathrm {F} :A\times A\rightarrow A}$  称为集合 ${\displaystyle A}$  上的二元运算。 ${\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)}$  通常写为 ${\displaystyle a\mathrm {F} b}$  ，而且比起使用字母，二元运算时常以某种运算符表示。

事实上 ${\displaystyle \mathrm {F} :A\times A\rightarrow A}$  这个符号的意义 ，保证了只要 ${\displaystyle a,\,b\in A}$  就会有 ${\displaystyle a\mathrm {F} b\in A}$  ，这正是一般所说的二元运算的封闭性，也就是直观上运算符 ${\displaystyle \mathrm {F} }$  对 ${\displaystyle A}$  任二元素做运算的结果，仍然会在 ${\displaystyle A}$  里。

关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

幺元

设 ${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$  是集合 ${\displaystyle A}$  上的二元运算，${\displaystyle i\in A}$ ，则：

• 称 ${\displaystyle i}$  为 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle \circ }$  下的左幺元，若 ${\displaystyle i}$  满足：${\displaystyle \forall a\in A,i\circ a=a}$ ；
• 称${\displaystyle i}$  为 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle \circ }$  下的右幺元，若 ${\displaystyle i}$  满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ i=a}$ ；
• 称 ${\displaystyle i}$  为 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle \circ }$  下的幺元，若 ${\displaystyle i}$  满足：${\displaystyle i}$  既是 ${\displaystyle A}$  在二元运算 ${\displaystyle \circ }$  下的左幺元，又是 ${\displaystyle A}$  在二元运算 ${\displaystyle \circ }$  下的右幺元。

逆元

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，${\displaystyle a,b\in A}$ ,${\displaystyle i}$ 是${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的幺元。则：

• 称${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle b}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的左逆元，若${\displaystyle a,b}$ 满足：${\displaystyle a\circ b=i}$ 。
• 称${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle b}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的右逆元，若${\displaystyle a,b}$ 满足：${\displaystyle b\circ a=i}$ 。
• 称${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle b}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的逆元，若${\displaystyle a,b}$ 满足：a既是${\displaystyle b}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的左逆元，又是${\displaystyle b}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的右逆元。（显然此时${\displaystyle b}$ 也是${\displaystyle a}$ 的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素${\displaystyle a}$ 的逆元通常记为${\displaystyle a^{-1}}$ 。

零元

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，${\displaystyle z\in A}$ ，则：

• 称${\displaystyle z}$ 为${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的左零元，若${\displaystyle z}$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A,z\circ a=z}$ ；
• 称${\displaystyle z}$ 为${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的右零元，若${\displaystyle z}$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ z=z}$ ；
• 称${\displaystyle z}$ 为${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的零元，若${\displaystyle z}$ 满足：z既是${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的左零元，又是${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的右零元。

零因子

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，${\displaystyle a\in A}$ 且${\displaystyle a\neq z}$ ,${\displaystyle z}$ 是${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的零元。则：

• 称${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle A}$ 中在${\displaystyle \circ }$ 下的左零因子，若${\displaystyle a}$ 满足：${\displaystyle \exists b\in A,b\neq z}$ ，使${\displaystyle a\circ b=z}$ 。
• 称${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle A}$ 中在${\displaystyle \circ }$ 下的右零因子，若${\displaystyle a}$ 满足：${\displaystyle \exists b\in A,b\neq z}$ ，使${\displaystyle b\circ a=z}$ 。
• 称${\displaystyle a}$ 为${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的零因子，若${\displaystyle a}$ 满足：a既是${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的左零因子，又是${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的右零因子。

交换律

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，则： 称${\displaystyle \circ }$ 满足交换律，若${\displaystyle \circ }$ 满足：${\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a}$ ；

结合律

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，则： 称${\displaystyle \circ }$ 满足结合律，若${\displaystyle \circ }$ 满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$ ；

消去律

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，则：

称${\displaystyle \circ }$ 满足左消去律，若${\displaystyle \circ }$ 满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b}$ 

称${\displaystyle \circ }$ 满足右消去律，若${\displaystyle \circ }$ 满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c}$ 

称${\displaystyle \circ }$ 满足消去律，若${\displaystyle \circ }$ 同时满足左消去律与右消去律。

幂等律

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，则： 称${\displaystyle \circ }$ 满足幂等律，若${\displaystyle \circ }$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=a}$ ；

幂幺律

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，i是${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的幺元， 则：称${\displaystyle \circ }$ 满足幂幺律，若${\displaystyle \circ }$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=i}$ （显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

幂零律

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的二元运算，z是${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle \circ }$ 下的零元， 则：称${\displaystyle \circ }$ 满足幂零律，若${\displaystyle \circ }$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A}$ ，有${\displaystyle a\circ a=z}$ （显然此时每个元素都是零元，而且既是左零元又是右零元）；

分配律

设${\displaystyle \circ }$ : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 和${\displaystyle \diamond }$  : ${\displaystyle A\times A\to A}$ 是集合${\displaystyle A}$ 上的两个二元运算，则：

• 称${\displaystyle \circ }$ 对${\displaystyle \diamond }$  满足左分配律，若${\displaystyle \circ }$ ，${\displaystyle \diamond }$  满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$ ，有${\displaystyle a\circ (b\diamond c)=a\circ b\diamond a\circ c}$ ；
• 称${\displaystyle \circ }$ 对${\displaystyle \diamond }$  满足右分配律，若${\displaystyle \circ }$ ，${\displaystyle \diamond }$  满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$ ，有${\displaystyle (b\diamond c)\circ a=b\circ a\diamond c\circ a}$ ；
• 称${\displaystyle \circ }$ 对${\displaystyle \diamond }$  满足分配律，若${\displaystyle \circ }$ 对${\displaystyle \diamond }$  满足左分配律以及右分配律；