交换律

交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。

在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。^[3][4][5]

“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中^[6][7]：

1. 在集合 ${\displaystyle S}$  的一二元运算 ${\displaystyle *}$  被称之为“可交换”的，若：

${\displaystyle \forall x,y\in S,x*y=y*x}$ 

• 一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。

2. 若称 ${\displaystyle x}$  在 ${\displaystyle *}$  下和 ${\displaystyle y}$  “可交换”，即表示：

${\displaystyle x*y=y*x}$ 

3. 一二元函数${\displaystyle f:A\times A\to B}$ 被称之为“可交换”的，若：

${\displaystyle \forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)}$ .

对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。^[8][9]且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。^[10]对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

第一个使用“可交换（commutative）”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记^[11][12]，这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。^[11]

结合律

结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指算子的顺序不会影响其最终结果的性质。

对称

对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数，则此一函数会对 ${\displaystyle y=x}$  这条线对称。举例来说，若设一函数 ${\displaystyle f}$  来表示加法（一可交换运算），所以 ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$  ，也因此 ${\displaystyle f}$  会是个如右图所见的对称函数。

日常生活中的可交换运算

• 洗一双鞋子可类比为一可交换运算，因为不论是左边的鞋子先洗，还是右边的鞋子先洗，最终的结果（两只鞋子都洗好）是一样的。
• 成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。

数学中的可交换运算

两个广为人知的可交换二元运算的例子为^[6]：

• 实数的加法

${\displaystyle y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$ 

例如， ${\displaystyle 4+5=5+4}$  ，两个表示式都等于 9 。

• 实数的乘法

${\displaystyle yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$ 

例如， ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$  ，两者都等于 15 。

• 更多可交换二元运算的例子包括复数的乘法、向量的加法、和集合的交集与并集。

日常生活中的不可交换运算

• 洗衣和干衣可类比成不可交换运算，因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
• 魔术方块是不可交换的。例如，将正面顺时针扭转，顶面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转（FUF'），并不会得出如将正面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转，最后再将顶面顺时针扭转（FF'U）一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。

数学中的不可交换运算

一些不可交换二元运算^[13]有：

• 减法： ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$  ，不过可将其减法符号变换成加上其相反数，即可使用交换律。
• 除法： ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$ ，可将除法变换成乘上其倒数以使用交换律。
• 矩阵乘法：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ 

• 阿贝尔群是一个群运算为可交换的群。^[4]
• 交换环是一个乘法为可交换的环。（环中的加法依定义总会是可交换的。）^[14]
• 域的加法与乘法都是可交换的。^[15]
• 中心是一个群最大的可交换子集。^[16]

书籍

• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997.  

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8. 

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006.  

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章