交换子

抽象代数中,一个群的交换子(commutator)或换位子是一个二元运算子。设gh 是 群G中的元素,他们的交换子g −1 h −1 gh,常记为[ g, h ]。只有当gh符合交换律(即gh = hg)时他们的交换子才是这个单位元

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G导群,记作D(G)

群论

G中两个元素gh交换子为元素

[g, h] = g−1h−1gh

它等于群的幺元当且仅当gh可交换(即gh = hg)。

环论

结合代数上两个元素ab交换子定义为:

 

量子力学

量子力学中,经常用到对易关系commutation relation),即

 

其中;  均为量子力学的算符 是其对易算符,也称交换子

如果上式等于零,则称  对易的,即意味着  两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的,运算顺序不可以调换。

量子力学中,交换子有以下特性:

 
 
 
 
 
 

量子力学中的各个力学量之间,常用的对易关系有:

以下, 位置算符 动量算符 角动量算符(包括轨道角动量、自旋角动量等),而 克罗内克δ 列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系 更具体的形式
    
    
      
     

正则对易关系

物理学中,正则对易关系正则共轭的量之间的关系,这样的量从定义可以发现:一个量是其共轭量的傅里叶变换的结果。举例来说:

 

上面的xp分别为一维空间中的一点粒子的位置动量,而 为所谓  交换算符 虚数单位 约化普朗克常数,等于 。此一关系常归功于马克斯·玻恩,并且此式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理

与经典力学的关系

相对于量子力学经典物理中所有可观测量都可对易(交换),而交换算符会是零;然而仍然有类似的关系存在:需将交换子换成泊松括号,且常数 换成 

 

这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设:一般来说,经典的观测量 其量子对应项 应满足

 

于1927年,赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制,称作魏尔量子化(Weyl quantization),为了一种称作形变量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了数学途径。

延伸阅读

  • Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, (原始内容存档于2021-07-09) 
  • Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics  2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X 
  • Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975 
  • Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5 
  • McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994 
  • McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 

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