位置算符

设定量子态 ${\displaystyle |\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle }$  。量子态 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$  、${\displaystyle |\psi \rangle }$  的位置空间表现，即波函数，分别定义为

${\displaystyle \Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle }$  、

${\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle }$  。

在位置空间里，定义算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}}$  为

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ x\psi (x)}$  。

在位置空间里，使用连续本征态 ${\displaystyle |x'\rangle }$  所组成的基底，任意量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  展开为

${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle }$  。

将量子算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$  作用于量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  ，可以得到

${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'\psi (x')|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')|x'\rangle }$  。

应用狄拉克正交归一性，${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$  ，这方程与左矢 ${\displaystyle \langle x|}$  的内积为

${\displaystyle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\delta (x-x')={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)}$  。

量子态 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$  的展开式为

${\displaystyle \Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')|x'\rangle }$  。

应用狄拉克正交归一性，这方程与左矢 ${\displaystyle \langle x|}$  的内积为

${\displaystyle \langle x|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\delta (x-x')=\Psi (x)}$  。

所以，两个波函数 ${\displaystyle \Psi (x)}$  、${\displaystyle \psi (x)}$  之间的关系为

${\displaystyle \Psi (x)={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)}$  。

总结，位置算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$  作用于量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  的结果 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$  ，表现于位置空间，等价于波函数 ${\displaystyle \psi (x)}$  与 ${\displaystyle x}$  的乘积 ${\displaystyle \Psi (x)}$  。位置算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$  的位置空间表现是位算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}}$  ，可以称算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}}$  为位置算符。

假设，在位置空间里，位置算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}}$  的本征值为 ${\displaystyle q}$  的本征函数是 ${\displaystyle g_{q}(x)}$  。用方程表达，^[1]

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}g_{q}(x)=qg_{q}(x)}$  。

这方程的一般解为，

${\displaystyle g_{q}(x)=g_{0}\delta (x-q)}$  ；

其中，${\displaystyle g_{0}}$  是常数，${\displaystyle \delta (x-q)}$  是狄拉克δ函数。

注意到 ${\displaystyle g_{q}(x)}$  无法归一化：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q}^{*}(x)g_{q}(x)\ dx=|g_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta ^{2}(x-q)\ dx={\mbox{?}}}$  。

设定 ${\displaystyle g_{0}=1}$  ，函数 ${\displaystyle g_{q}(x)}$  满足下述方程：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q1}^{*}(x)g_{q2}(x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta (x-q1)\delta (x-q2)\ dx=\delta (q1-q2)}$  。

这性质不是普通的正交归一性，这性质称为狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算符的本征函数具有完备性，也就是说，任意波函数 ${\displaystyle \psi (x)}$  都可以表达为本征函数的线性组合：

${\displaystyle \psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi (q)g_{q}(x)\ dq}$  。

虽然本征函数 ${\displaystyle g_{q}(x)}$  所代表的量子态是无法实际体现的，并且严格而论，不是一个函数，它可以视为代表一种理想量子态，这种理想量子态具有准确的位置 ${\displaystyle q}$  ，因此，根据不确定性原理，这种理想量子态的动量呈均匀分布。

采用位置空间表现，设想一个移动于一维空间的量子粒子。在这里，希尔伯特空间是 ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$  ，是实值定义域的平方可积函数的空间。^[2]:11两个态向量的内积是

${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x}$  。

对于任意量子态 ${\displaystyle \psi }$  ，可观察量 ${\displaystyle x}$  的期望值为

${\displaystyle \langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle }$  。

位置算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$  作用于量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  的结果，表现于位置空间，等价于波函数 ${\displaystyle \psi (x)}$  与 ${\displaystyle x}$  的乘积，所以，

${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x}$  。

粒子处于 ${\displaystyle x}$  与 ${\displaystyle x+dx}$  微小区间内的概率是

${\displaystyle p(x)\mathrm {d} x=\psi ^{*}(x)\psi (x)\mathrm {d} x}$  。

粒子位置与概率的乘积在位置空间的积分，就是粒子位置的期望值。

推广至三维空间相当直截了当，参数为三维位置 ${\displaystyle \mathbf {r} }$  的波函数为 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$  ，位置的期望值为^[2]:41-42

${\displaystyle \langle \mathbf {r} \rangle =\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$  ；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$  是积分体积。

位置算符 ${\displaystyle \mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} }$  的作用为

${\displaystyle \mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} \psi =\mathbf {r} \psi }$  。

位置算符与动量算符的对易算符，当作用于波函数时，会得到一个简单的结果：

${\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi }$  。

所以，${\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar }$  。这关系称为位置算符与动量算符的对易关系。由于两者的对易关系不等于 0 ，位置与动量彼此是不相容可观察量。${\displaystyle {\hat {x}}}$  与 ${\displaystyle {\hat {p}}}$  绝对不会拥有共同的基底量子态。一般而言，${\displaystyle {\hat {x}}}$  的本征态与 ${\displaystyle {\hat {p}}}$  的本征态不同。

根据不确定性原理，

${\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|}$  。

由于 ${\displaystyle x}$  与 ${\displaystyle p}$  是两个不相容可观察量，${\displaystyle \left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2}$  。所以，${\displaystyle x}$  的不确定性与 ${\displaystyle p}$  的不确定性的乘积 ${\displaystyle \Delta x\ \Delta p}$  ，必定大于或等于 ${\displaystyle \hbar /2}$  。