波函数

在这篇文章内,向量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小则用 来表示。

量子力学里,量子系统的量子态可以用波函数(英语:Wave function)来描述。薛定谔方程设定波函数如何随着时间流逝而演化。[注 1]

设想经典力学里的谐振子 系统(A-B),一条弹簧的一端固定不动,另一端有一个带质量圆球;在量子力学里, (C-H)展示出同样系统的薛定谔方程的六个波函数解。横轴坐标表示位置,竖轴坐标表示波函数概率幅的实部(蓝色)或虚部(红色)。(C-F)是定态,(G、H)不是定态。定态的能量为驻波振动频率与约化普朗克常数的乘积。

波函数 是一种复值函数,表示粒子在位置 、时间 概率幅,它的绝对值平方 是在位置 、时间 找到粒子的概率密度。以另一种角度诠释,波函数是“在某时间、某位置发生相互作用的概率幅”。[1][注 2]

历史

 
路易·德布罗意
 
埃尔温·薛定谔

在1920年代与1930年代,理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意埃尔温·薛定谔等等,他们使用的数学工具是微积分,他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡马克斯·玻恩等等,使用线性代数,他们建立了矩阵力学。后来,薛定谔证明这两种方法完全等价。[2]:606–609

德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明,每一种微观粒子都具有波粒二象性电子也不例外,具有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性,应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程,这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示,他因此开始寻找这波动方程。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学光学之间的类比这方面的研究,在其中隐藏了一个奥妙的发现,即在零波长极限,物理光学趋向于几何光学;也就是说,光波的轨道趋向于明确的路径,而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为,在零波长极限,波传播趋向于明确的运动,但他并没有给出一个具体方程来描述这波动行为,而薛定谔给出了这方程。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程。[3]:207他又用自己设计的方程来计算氢原子谱线,得到的答案与用玻尔模型计算出的答案相同。他将这波动方程与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文,1926年,正式发表于物理学界[4][5]:163-167。从此,量子力学有了一个崭新的理论平台。

薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。那时,物理学者尚未能解释波函数的涵义,薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度,但遭到失败。1926年,玻恩提出概率幅的概念,成功地解释了波函数的物理意义[3]:219-220。可是,薛定谔本人不赞同这种统计概率方法,和它所伴随的非连续性波函数坍缩,如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这意见。[3]:479

1927年,道格拉斯·哈特里弗拉基米尔·福克在对于多体波函数的研究踏出了第一步,他们发展出哈特里-福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出,后来福克将之加以改善,能够符合泡利不相容原理的要求。[6]:344-345

薛定谔方程不具有洛伦兹不变性 ,无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程,并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果,又会给出违背量子力学的负概率和怪异的负能量现象,他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁,先行发表前面提到的非相对论性部分。[3]:196-197[7]:3

1926年,奥斯卡·克莱因沃尔特·戈尔登电磁相对作用纳入考量,独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分,并且证明其具有洛伦兹不变性。这方程后来称为克莱因-戈尔登方程[7]:3

1928年,保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义相对论与量子力学,他推导出狄拉克方程,适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程的波函数是一个旋量,拥有自旋性质。[5]:167

概述

 
在一维无限深方形阱内,粒子的能级与对应的波函数。
 
在一维无限深方形阱内,找到能级为   的粒子的概率。

位置空间波函数

假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为   ;其中,  是位置,  是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的位置   在区间   (即   )的概率 

 

其中,  是对于粒子位置做测量的时间。

换句话说,  是粒子在位置   、时间   的概率密度。

这导致归一化条件:在位置空间的任意位置找到粒子的概率为100%:

 

动量空间波函数

在动量空间,粒子的波函数表示为   ;其中,  是一维动量,值域从    。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的动量   在区间   (即   )的概率为

 

动量空间波函数的归一化条件也类似:

 

两种波函数之间的关系

 
本图展示一维零自旋自由粒子的波函数范例,左边是位置空间波函数   的实部(紫色)和概率密度   (红色),右边是动量空间波函数   的实部(金色)和概率密度   (蓝色)。在x-轴的某位置   或px-轴的某动量   显示出的粒子颜色的不透明度,分别表示在那位置   或动量   找到粒子的概率密度(不是波函数的概率幅)。

位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅里叶变换。他们各自拥有的信息相同,任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为[8]:108

 
 

薛定谔方程

在一维空间里,运动于位势   的单独粒子,其波函数满足含时薛定谔方程

 

其中, 质量 约化普朗克常数

不含时薛定谔方程与时间无关,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变数法,猜想   的函数形式为

 

其中,  是分离常数,稍加推导可以论定   就是能量  是对应于  本征函数

代入这猜想解,经过一番运算,可以推导出一维不含时薛定谔方程:

 

波函数的概率诠释

波函数   是概率波。其模的平方   代表粒子在该处出现的概率密度,并且具有归一性,全空间的积分

 

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加,概率的大小取决于两个波函数的相位差,类似光学中的杨氏双缝实验

波函数的本征值和本征态

在量子力学中,可观察量   以算符   的形式出现。  代表对于波函数的一种运算。例如,在位置空间里,动量算符   的形式为

 

可观察量   的本征方程为

 

对应的   称为算符  本征值  称为算符  本征态。假设对于   的本征态   再测量可观察量   ,则得到的结果是本征值  

态叠加原理

假设对于某量子系统测量可观察量   ,而可观察量   的本征态    分别拥有本征值    ,则根据薛定谔方程线性关系,叠加态   也可以是这量子系统的量子态:

 

其中,    分别为叠加态处于本征态   概率幅

假设对这叠加态系统测量可观察量   ,则测量获得数值是    的概率分别为   期望值

 

定态

 
描述谐振子的含时薛定谔方程的三个波函数解。左边:波函数概率幅的实部(蓝色)或虚部(红色)。右边:找到粒子在某位置的概率,这说明了为什么概率与时间无关的量子态被称为“定态”。上面两个横排是定态,最下面横排是叠加态  

量子力学中,一类基本的问题是哈密顿算符   不含时间的情况。对于这问题,应用分离变数法,可以将波函数   分离成一个只与位置有关的函数   和一个只与时间有关的函数  

 

将这公式代入薛定谔方程,就会得到

 

  则满足本征能量薛定谔方程

 

例子

自由粒子

3D空间中的自由粒子,其波矢k角频率ω,其波函数为:

 

无限深方形阱

粒子被限制在x = 0x = L之间的1D空间中,其波函数为:[8]:30-38

 

其中, 是能量本征值, 是正整数, 是质量。

有限位势垒

 
对于一个垒高为 V0 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示

在1D情况下,粒子处于如下势垒中:

其波函数的定态解为( 为常数)

 

量子点

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势(由外部的电极,掺杂,应变,杂质产生),两种不同半导体材料的界面(例如:在自组量子点中),半导体的表面(例如:半导体纳米晶体),或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中,但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述,能级位置取决于势阱宽度。

参阅

  • 波包

参考文献

  1. ^ Hobson, Art. There are no particles, there are only fields. American Journal of Physics. 2013, 81 (211) [2014-09-25]. doi:10.1119/1.4789885. (原始内容存档于2015-02-10). 
  2. ^ Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9 (英语) 
  4. ^ 薛定谔, 埃尔温, Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen (PDF) 79, Annalen der Physik, (Leipzig), 1926 [2013-06-10], (原始内容 (PDF)存档于2008-12-17)  [德文原稿]
  5. ^ 5.0 5.1 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523. 
  6. ^ Atkins, Peter; de Paula, Julio. Physical Chemistry 8th. W. H. Freeman. 2006. ISBN 978-0716787594. 
  7. ^ 7.0 7.1 McMahon, David. Quantum Field Theory Demystified. McGraw Hill Professional. 2008. ISBN 9780071643528. 
  8. ^ 8.0 8.1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 

注释

  1. ^ 从数学角度来看,薛定谔方程乃是一种波动方程,因此,波函数具有类似波的性质。这说明了波函数这术语的命名原因。
  2. ^ 波函数的概念在量子力学里非常基础与重要,诸多关于量子力学诠释像谜一样之结果与困惑,都源自于波函数,甚至今天,这些论题仍旧尚未获得满意解答。