克莱因-戈尔登方程

克莱因-戈尔登方程为

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}$ 。

很多时候会用自然单位（c=ħ=1）写成

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$ 

由于平面波为此方程已知的一组解，所以方程形式由它决定：

${\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}$ 

遵从狭义相对论的能量动量关系式

${\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}\,}$ 

跟薛定谔方式不同，每一个k在此都对应着两个${\displaystyle \omega }$ ，只有通过把频率的正负部分分开，才能让方程描述到整个相对论形式的波函数。若方程在时间流逝下不变，则其形式为

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0}$ 。

自由粒子的薛定谔方程是非相对论量子力学的最基本方程：

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$ 

其中${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$ 是动量算符。

薛定谔方程并非相对论协变的，意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。

利用狭义相对论中四维动量的不变性导出的相对论动量能量关系，相对论能量

${\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$ 

替换薛定谔方程左边自由粒子的动能${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ ，

并最终得到它的协变形式

${\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0,}$ 

其中${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,}$ 

达朗贝尔算符${\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,}$ 

从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程是一个量子力学的波方程。

场论中，对于自旋为零的场（标量场），拉格朗日量被写成

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$ 

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位，将光速${\displaystyle c}$ 和普朗克常数${\displaystyle \hbar }$ 都取作1。

代入欧拉-拉格朗日方程${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\phi )}}=0,}$ 可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程只是一个经典场的场方程。

相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程这样的波方程仍然具有形式上的平面波解：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$ 

其中${\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}$ 

从克莱因-戈尔登方程得出的能量本征值为

${\displaystyle E=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$ 

因而克莱因-戈尔登方程的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的。英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程，但这个方程仍然没有避免出现负能量。

克莱因-戈尔登方程有行波解^[1]

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