欧拉-拉格朗日方程

设${\displaystyle f=f(x,\ y,\ z)}$ ，以及${\displaystyle f_{y},\ f_{z}}$ 在${\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}}$ 中连续，并设泛函

${\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx}$ 。

若${\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]}$ 使得泛函${\displaystyle J(y)}$ 取得局部平稳值，则对于所有的${\displaystyle x\in (a,\ b)}$ ，

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}f(x,y,y')={\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,y')}$ 。

推广到多维的情况，记

${\displaystyle {\vec {y}}(x)=(y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x))}$ ，

${\displaystyle {\vec {y}}'(x)=(y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))}$ ，

${\displaystyle f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')=f(x,y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x),y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))}$ 。

若${\displaystyle {\vec {y}}'(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}}$ 使得泛函${\displaystyle J({\vec {y}})=\int _{a}^{b}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')dx}$ 取得局部平稳值，则在区间${\displaystyle (a,\ b)}$ 内对于所有的${\displaystyle i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n}$ ，皆有

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')={\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')}$ 。

设${\displaystyle f=f(x,\ y,\ z)}$ ，及${\displaystyle f_{y},\ f_{z}}$ 在${\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}}$ 中连续，若${\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]}$ 使得泛函${\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx}$ 取得局部平稳值，则存在一常数${\displaystyle C}$ ，使得

${\displaystyle f(x,y,y')-y'(x)f_{y\,'}(x,y,y')=\int _{a}^{x}f_{x}(x(t),y(t),y'(t))dt+C}$ 。

例一：两点之间最短曲线

设${\displaystyle (0,\ 0)}$ 及${\displaystyle (a,\ b)}$ 为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设${\displaystyle (x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])}$ ，并且

${\displaystyle (x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)}$ ；

这里，${\displaystyle (x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]}$ 为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为

${\displaystyle L(y)=\int _{0}^{1}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt}$ 。

现设

${\displaystyle {\vec {y}}(t)=(x(t),\ y(t))}$ ，

${\displaystyle f(t,\ {\vec {y}}(t),\ {\vec {y}}'(t))={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}$ ，

取偏微分，则

${\displaystyle f_{x'}={\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$ ，

${\displaystyle f_{y'}={\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$ ，

${\displaystyle f_{x}=f_{y}=0}$ 。

若${\displaystyle y}$ 使得${\displaystyle L(y)}$ 取得局部平稳值，则${\displaystyle y}$ 符合第一方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{x'}(t,y,y')=f_{x}(t,y,y')=0}$ ，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{y'}(t,y,y')=f_{y}(t,y,y')=0}$ 。

因此，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {x'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0}$ ，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {y'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0}$ 。

随${\displaystyle t}$ 积分，

${\displaystyle {\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{0}}$ ，

${\displaystyle {\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{1}}$ ；

这里，${\displaystyle C_{0},\ C_{1}}$ 为常数。重新编排，

${\displaystyle x'={\sqrt {\frac {C_{0}^{2}}{1-C_{0}^{2}}}}=r}$ ，

${\displaystyle y'={\sqrt {\frac {C_{1}^{2}}{1-C_{1}^{2}}}}=s}$ 。

再积分，

${\displaystyle x(t)=rt+r'}$ ，

${\displaystyle y(t)=st+s'}$ 。

代入初始条件

${\displaystyle (x(0),\ y(0))=(0,\ 0)}$ ，

${\displaystyle (x(1),\ y(1))=(a,\ b)}$ ；

即可解得${\displaystyle (x(t),\ y(t))=(at,\ bt)}$ ，是连接两点的一条线段。

另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得${\displaystyle L(y)}$ 取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。

例二：两点之间最短曲线的另一种求解

另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d，并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x,}$ 

被积函数为

${\displaystyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ 

L的偏导数为

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}}$ 

以及

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}$ 

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}$ 

也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。

• 拉格朗日方程
• 变分法
• 作用量
• 哈密顿原理

• Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.