变分法

变分法可能是从约翰·伯努利（1696）提出最速曲线（brachistochrone curve）问题开始出现的。^[1]它立即引起了雅各布·伯努利和洛必达（Marquis de l'Hôpital）的注意。但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。欧拉对这个理论的贡献非常大。

勒让德（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由柯西（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900年希尔伯特发表的23个问题中的第20和23个问题促进了其更深远的发展。

在20世纪希尔伯特、埃米·诺特、列奥尼达·托内利、昂利·勒贝格和雅克·阿达马等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在莫尔斯理论中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法最优控制理论发展了新的数学工具。

在理想情形下，一函数的极大值及极小值会出现在其导数为${\displaystyle 0}$ 的地方。同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 和${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ 最短曲线的例子，说明求解的过程。曲线的长度为

${\displaystyle A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}$ 

其中

${\displaystyle f'(x)={\frac {df}{dx}},\,}$  ${\displaystyle f(x_{1})=y_{1},\,}$  ${\displaystyle f(x_{2})=y_{2}\,}$ 。

函数${\displaystyle f}$ 至少需为一阶可微的函数。若${\displaystyle f_{0}}$ 是一个局部最小值，而${\displaystyle f_{1}}$ 是一个在端点${\displaystyle x_{1}}$ 及${\displaystyle x_{2}}$ 取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子

${\displaystyle A[f_{0}]\leq A[f_{0}+\epsilon f_{1}]}$ 

其中${\displaystyle \epsilon }$ 为任意接近${\displaystyle 0}$ 的数字。

因此${\displaystyle A[f_{0}+\epsilon f_{1}]}$ 对${\displaystyle \epsilon }$ 的导数（A的一阶导数）在${\displaystyle \epsilon =0}$ 时必为${\displaystyle 0}$ ：

${\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\sqrt {1+[f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x)]^{2}}}dx\right|_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {(f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x))f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x)]^{2}}}}\right|_{\epsilon =0}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\,dx=0}$ 

此条件可视为在可微分函数的空间中，${\displaystyle A[f_{0}]}$ 在各方向的导数均为${\displaystyle 0}$ 。若假设${\displaystyle f_{0}}$ 二阶可微（或至少弱微分存在），则利用分部积分法可得

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]\,dx=0,}$ 

其中${\displaystyle f_{1}}$ 为在两端点皆为0的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例：

${\displaystyle I=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x)H(x)dx=0}$ ，

其中${\displaystyle f_{1}}$ 为在两端点皆为${\displaystyle 0}$ 的任意可微函数。

若存在${\displaystyle x={\hat {x}}}$ 使${\displaystyle H(x)>0}$ ，则在${\displaystyle {\hat {x}}}$ 周围有一区间的H也是正值。可以选择${\displaystyle f_{1}}$ 在此区间外为${\displaystyle 0}$ ，在此区间内为非负值，因此${\displaystyle I>0}$ ，和前提不合。若存在${\displaystyle x={\hat {x}}}$ 使${\displaystyle H(x)<0}$ ，也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]=0}$ ，

由结论可推得下式：

${\displaystyle {\frac {d^{2}f_{0}}{dx^{2}}}=0}$ ，

因此两点间最短曲线为一直线。

在一般情形下，则需考虑以下的计算式

${\displaystyle A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,f,f')dx}$ ，

其中f需有二阶连续的导函数。在这种情形下，拉格朗日量L在极值${\displaystyle f_{0}}$ 处满足欧拉-拉格朗日方程

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}+{\frac {\partial L}{\partial f}}=0}$ ，

不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。

费马原理指出：光会沿着两端点之间所需光程最短的路径前进。假设${\displaystyle y=f(x)}$ 为光的路径，则光程可以下式表示：

${\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}$ ，

其中折射率${\displaystyle n(x,y)}$ 依材料特性而定。

若选择${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x)}$ ，则${\displaystyle A}$ 的一阶导数（${\displaystyle A}$ 对${\displaystyle \epsilon }$ 的微分）为：

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx}$ ，

将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0}$ 。

光线的路径可由上述的积分式而得。

斯乃尔定律

当光进入或离开透镜面时，折射率会有不连续的变化。考虑

${\displaystyle n(x,y)=n_{-}\quad {\hbox{if}}\quad x<0}$ ，

${\displaystyle n(x,y)=n_{+}\quad {\hbox{if}}\quad x>0}$ ，

其中${\displaystyle n_{-}}$ 和${\displaystyle n_{+}}$ 是常数。在x<0或x>0的区域，欧拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因为折射率在二个区域均为定值，在二个区域光都以直线前进。而在x=0的位置，f必须连续，不过f' 可以不连续。在上述二个区域用分部积分的方式解欧拉-拉格朗日方程，则其变分量为

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right]}$ 。

和${\displaystyle n_{-}}$ 相乘的系数是入射角的正弦值，和${\displaystyle n_{+}}$ 相乘的系数则是折射角的正弦值。若依照斯涅尔定律，上述二项的乘积相等，因此上述的变分量为0。因此斯涅尔定律所得的路径也就是要求光程一阶变分量为0的路径。

费马原理在三维下的形式

费马原理可以用向量的形式表示：令${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ，而t为其参数，${\displaystyle X(t)}$ 是曲线C参数化的表示，而令${\displaystyle {\dot {X}}(t)}$ 为其法线向量。因此在曲线上的光程长为

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}dt}$ 。

上述积分和t无关，因此也和C的参数表示方式无关。使曲线最短的欧拉-拉格朗日方程有以下的对称形式

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\nabla n}$ ，

其中

${\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}}$ 。

依P的定义可得下式

${\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}}$ 。

因此上述积分可改为下式

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt}$ 。

依照上式，若可以找到一个函数ψ，其梯度为P，则以上的积分A就可以由在积分端点上ψ的差求得。以上求解曲线使积分量不变的问题就和ψ的level surface有关。为了要找到满足此条件的函数ψ，需要对控制光线传动的波动方程式进行进一步的研究。

和波动方程的关系

最优控制的理论是变分法的一个推广。

• 等周不等式
• 变分原理
• 费马原理
• 最小作用量原理
• 无穷维优化
• 泛函分析
• 微扰法

1. ^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. Silverman, Richard A. , 编. Calculus of variations Unabridged repr. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2000: 3 [2013-05-22]. ISBN 978-0486414485. （原始内容存档于2019-05-03）. 

• Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
• Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
• Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
• Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
• Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
• Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
• Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
• Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

• 变分法线上影音教学（页面存档备份，存于互联网档案馆）by PengTitus
• Chapter III: Introduction to the calculus of variations by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
• PlanetMath.org: Calculus of variations
• Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variations（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Example problems in the calculus of variations