极小曲面

极小曲面的经典例子包括：

• 欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面；
• 悬链曲面：由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲面。悬链曲面状的皂液膜可以由将两个等大的圆环紧贴放入肥皂水中，拿出后再缓慢分开得到；
• 螺旋曲面：一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋上升时扫过的曲面。这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面；
• 恩内佩尔曲面。

给定一个嵌入曲面，或更一般的，一个浸入曲面（其边界一般固定，但不一定有界），定义其平均曲率如下：

令 ${\displaystyle p}$  是曲面 ${\displaystyle S}$  上一点，考虑 ${\displaystyle S}$  上过 ${\displaystyle p}$  的所有曲线 ${\displaystyle C_{i}}$ 。每条这样的 ${\displaystyle C_{i}}$  在${\displaystyle p}$  点有一个伴随的曲率 ${\displaystyle K_{i}}$ 。在这些曲率 ${\displaystyle K_{i}}$  中，至少有一个极大值 ${\displaystyle \kappa _{1}}$  与极小值${\displaystyle \kappa _{2}}$ ，这两个曲率 ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}$  称为 ${\displaystyle S}$  的主曲率。

${\displaystyle p\in S}$  的平均曲率是两个主曲率的平均值^[1]，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值^[2]，故有此名。

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}$ 

而极小曲面是指每一点上的平均曲率都是0的曲面。这种曲面的研究始于有关满足一定的约束条件（比如边界固定或容纳体积满足一定条件）下表面积最小的曲面，因此被称为“极小曲面”。实际上极小曲面所囊括的内涵比此类最小面积曲面更广泛。极小曲面的定义还可以扩展到恒定平均曲率曲面，即曲面上由平均曲率等于某个常数的点组成的子曲面。当这个常数等于零的时候， 恒定平均曲率曲面就是极小曲面。 极小曲面是平均曲率流的临界点。

极小曲面上的布朗过程可以用于某些极小曲面相关定理的概率证明^[3]。

• 伯恩施坦问题
• 肥皂泡
• 普拉托问题
• 伸展网格方法
• 曲率
• 韦尔—费伦结构
• 张力结构
• 魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化
• 双线性插值

文内引用

补充来源

• 3D-XplorMath-J 主页 - 基于 Java 应用程序的互动可视数学模型 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 可转动极小曲面模型 （页面存档备份，存于互联网档案馆）