螺旋曲面

螺旋曲面可视为一个线段沿着垂直于其中点的直线,匀速螺旋上升时扫过的曲面,可视为是螺旋线的立体版本,是在平面悬链曲面后,第三个已知的极小曲面

一个α=1、-1≤ρ≤1、-π≤θ≤π的螺旋曲面

描述

螺旋曲面曾在1774年及1776年分别由莱昂哈德·欧拉及Jean Baptiste Meusnier描述过[1],其英文Helicoid可以看出它和螺旋线(helix)之间的相关性:针对螺旋曲面上的每一,都存在一个通过该点的螺旋线,且整条螺旋线都落在螺旋曲面上。若仔细的观察螺旋曲面,且螺旋曲面够长的话,会发现若选定一个小区域的曲面,在螺旋曲面的前方及后方至少各会找到一个曲面和原曲面平行。

螺旋曲面也是直纹曲面(及正劈锥曲面英语Right conoid),表示它可以表示为一条直线在指定方式移动及转动下产生的轨迹。而针对螺旋曲面上的每一点,都存在一条在螺旋曲面上的直点通过该一点。欧仁·查尔斯·加泰兰英语Eugène Charles Catalan在1842年证明了只有螺旋曲面和平面是同时为直纹曲面及最小曲面的曲面[2]

螺旋曲面和悬链曲面是属于螺旋-悬链曲面极小曲面族的成员之一。

螺旋曲面的形成方式类似阿基米德式螺旋抽水机,但在各方面延伸到无限大,可以用以下笛卡儿坐标系下的参数式表示:

 
 
 

其中ρθ范围由负无限大到正无限大,而α为常数。若α为正值,螺旋曲面为逆时针螺旋,反之则为顺时针螺旋。

螺旋曲面的主曲率 ,其主曲率的和为其平均曲率(数值为零,因此为极小曲面),主曲率的乘积为高斯曲率

螺旋曲面和平面 同胚。若要确认这一点,可以将α由原先的数值连续的减到零,在每一个α数值下,都可以找到一个对应的螺旋曲面。当α为零时,螺旋曲面变成一个垂直的平面

若令h为z方向的最大值,而R为半径,则螺旋曲面的面积为 

螺旋曲面和悬链曲面

 
动画说明螺旋曲面如何变化为悬链曲面

螺旋曲面和悬链曲面是局部等距的曲面。

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参考资料

  1. ^ A. T. Fomenko. Minimal Surfaces, Stratified Multivarifolds, and the Plateau Problem. American Mathematical Soc. 21 February 1991: 71–. ISBN 978-0-8218-9827-7. 
  2. ^ Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 编辑