摄动理论

摄动理论的标准阐述主要是以微扰的阶数来分辨：一阶摄动理论或二阶摄动理论。再来就是以微扰的简并度来分辨：无简并或有简并。有简并的摄动，又称为奇异摄动（singular perturbation），比较难解，必须用到更进阶的理论。

本段落讲述微分方程的一阶微扰理论。为了简单易解，假设零微扰系统的解答是不简并的。

一阶本征值修正

许多常微分方程或偏微分方程可以表达为

${\displaystyle Dg(x)=\lambda g(x)\,\!}$ ；(1)

其中，${\displaystyle D\,\!}$ 是某特定微分算子，${\displaystyle \lambda \,\!}$ 是其本征值。

假设微分算子可以写为

${\displaystyle D=D^{(0)}+\epsilon D^{(1)}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \epsilon \,\!}$ 是微小的度量。

又假设我们已知道${\displaystyle D^{(0)}\,\!}$ 的解答的完备集${\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}$ ；其中，解答${\displaystyle f_{i}^{(0)}(x)\,\!}$ 是${\displaystyle D^{(0)}\,\!}$ 的本征值为${\displaystyle \lambda _{i}^{(0)}\,\!}$ 的本征函数。用方程表达，

${\displaystyle D^{(0)}f_{i}^{(0)}(x)=\lambda _{i}^{(0)}f_{i}^{(0)}(x)\,\!}$ 。

还有，这一集合的解答${\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}$ 形成一个正交归一集：

${\displaystyle \int f_{i}^{(0)}(x)f_{j}^{(0)}(x)\,dx=\delta _{ij}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \delta _{ij}\,\!}$ 是克罗内克函数。

取至零阶，完全解${\displaystyle g(x)\,\!}$ 应该相当接近集合里一个零微扰解。设定这零微扰解为${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$ 。用方程表达，

${\displaystyle g(x)=f_{n}^{(0)}(x)+{\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\mathcal {O}}\,\!}$ 采用大O符号来描述函数的渐近行为。

完全解的本征值也可近似为

${\displaystyle \lambda =\lambda _{n}^{(0)}+{\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}$ 。

将完全解${\displaystyle g(x)\,\!}$ 写为零微扰解的线性组合，

${\displaystyle g(x)=\sum _{m}c_{m}f_{m}^{(0)}(x)\,\!}$ ；(2)

其中，除了${\displaystyle c_{n}\,\!}$ 以外，所有的常数${\displaystyle c_{m},\ m\neq n\,\!}$ 的值是${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}$ ；只有${\displaystyle c_{n}\,\!}$ 的值是${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\,\!}$ 。

将公式 (2)代入公式 (1)，乘以${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$ ，利用正交归一性，可以得到

${\displaystyle \lambda _{n}^{(0)}c_{n}+\epsilon \sum _{m}c_{m}\int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{m}^{(0)}(x)\,dx=\lambda c_{n}\,\!}$ 。

这可以很容易地改变为一个简单的线性代数问题，一个寻找矩阵的本征值的问题：给予 ${\displaystyle \sum _{m}A_{nm}c_{m}=\lambda c_{n}\!\,\!}$ ，求${\displaystyle \lambda \,\!}$ ；其中，${\displaystyle A_{nm}\,\!}$ 是矩阵元素：

${\displaystyle A_{nm}=\lambda _{n}^{(0)}\delta _{nm}+\epsilon \int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{m}^{(0)}(x)\,dx\,\!}$ 。

我们并不需要解析整个矩阵。注意到线性方程里的每一个${\displaystyle c_{m}\,\!}$ 都是${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}$ ；只有${\displaystyle c_{n}\,\!}$ 的值是${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\,\!}$ 。所以，取至${\displaystyle \epsilon \,\!}$ 一阶，线性方程可以很容易地解析为

${\displaystyle \lambda =\lambda _{n}^{(0)}+\epsilon \int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx\,\!}$ 。(3)

这就是一阶摄动理论的本征值解答。一阶本征值数修正是

${\displaystyle \lambda _{n}^{(1)}=\int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx\,\!}$ 。

一阶本征函数修正

取至一阶，函数${\displaystyle g(x)\,\!}$ 可以用类似的推理求得。设定

${\displaystyle g(x)=f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\,\!}$ 。(4)

那么，公式 (1)变为

${\displaystyle \left(D^{(0)}+\epsilon D^{(1)}\right)\left(f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\right)=(\lambda _{n}^{(0)}+\epsilon \lambda _{n}^{(1)})\left(f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\right)\,\!}$ 。

取至一阶，展开这方程。经过一番运算，可以得到

${\displaystyle D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)+D^{(0)}f_{n}^{(1)}(x)=\lambda _{n}^{(0)}f_{n}^{(1)}(x)+\lambda _{n}^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$ 。(5)

由于${\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}$ 是一个完备集，${\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)\,\!}$ 可以写为

${\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)=\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)\,\!}$ 。(6)

请注意，这方程右手边的总和表达式，并不含有${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$ 项目。任何${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$ 的贡献，可以与公式 (4)的零阶项目相合并。

将公式 (6)代入公式 (5)，可以得到

${\displaystyle (D^{(1)}-\lambda _{n}^{(1)})f_{n}^{(0)}(x)=\lambda _{n}^{(0)}\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)-D^{(0)}\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)=\sum _{i\neq n}(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{i}^{(0)})C_{i}f_{i}^{(0)}(x)\,\!}$ 。

将这方乘式两边都乘以${\displaystyle f_{j}^{(0)}(x)\,\!}$ ，再随著${\displaystyle x\,\!}$ 积分，利用正交归一性，可以得到

${\displaystyle \int \,f_{j}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx=\sum _{i\neq n}(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{i}^{(0)})C_{i}\int \,f_{j}^{(0)}(x)f_{i}^{(0)}(x)=(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{j}^{(0)})C_{j}\,\!}$ 。

稍加编排，改变下标${\displaystyle j\,\!}$ 为${\displaystyle m\,\!}$ 。那么，一阶本征函数修正${\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)\,\!}$ 可以写为

${\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)=\sum _{m\neq n}{\frac {f_{m}^{(0)}(x)}{\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{m}^{(0)}}}\int \,f_{m}^{(0)}(y)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(y)\,dy\,\!}$ 。

• 多体摄动理论

• 摄动方法简介 （页面存档备份，存于互联网档案馆）作者Mark H. Holmes
• 第二章：摄动方法简介作者Johan Byström,Lars-Erik Persson，及Fredrik Strömberg