狄利克雷原理

以下给出 ${\displaystyle g=0}$  时的证明^[1]。假设 u 是使得

${\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$ 

最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界${\displaystyle \partial \Omega }$ 上满足${\displaystyle v=0}$ 的函数${\displaystyle v}$ ，那么对于任意一个满足边界条件的函数 ${\displaystyle w}$ ，任意正实数${\displaystyle \varepsilon }$ 都有：

${\displaystyle E[u+\varepsilon w]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u+\varepsilon \nabla w|^{2}-uf-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}-uf\right)\,\mathrm {d} x}$ 

即

${\displaystyle \int _{\Omega }\left(\varepsilon \nabla u\cdot \nabla w+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}|\nabla w|^{2}-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant 0}$ 

上式左侧是一个关于${\displaystyle \varepsilon }$ 的二次多项式，并且在 ${\displaystyle \varepsilon =0}$  的时候取到最小值，所以有：

${\displaystyle \int _{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla w-wf\right)\,\mathrm {d} x=0}$ 

另一方面，由于函数 ${\displaystyle w}$  满足边界条件，即在 ${\displaystyle \partial \Omega }$  上满足 ${\displaystyle w=0}$ ，因此有：

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\partial \Omega }w\left(\nabla u\cdot \mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} \sigma =\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(w\cdot \nabla u\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }\left(w\Delta u+\nabla u\cdot \nabla w\right)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }w\left(\Delta u+f\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$ 

这个结果对所有满足边界条件的函数 ${\displaystyle w}$  都成立，因此根据变分法基本引理，可以得到${\displaystyle \Delta u+f=0}$ 

• 普拉托问题
• 格林第一公式