作用量

皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明：光传播的正确路径，所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性，现今，一个物理系统的运动拥有了展望与目标。

戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论：光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径；更精确地说，阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题，如果要符合实验的结果，玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍；但是，玻璃的密度大于空气，应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散；因此，光被约束在一个很窄的路径内。假若，河道变窄，水的流速会增加；同样地，光的路径变窄，所以光的速度变快了。

1744年，皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，发表了最小作用量原理：光选择的传播路径，作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理，他证明了费马原理：光传播的正确路径，所需的时间是极值；他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年，莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中，应用这原理于碰撞，正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞；这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。

莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律，而这物理量是${\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!}$ 。应用这理论，欧拉成功的计算出，当粒子受到有心力作用时，正确的抛射体运动。

在此以后，许多物理学家，包括约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿、理查德·费曼等等，对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。

作用量方法是一种全然不同的方法，它能够描述物理系统的运动，而且只需要设定物理变数在两点的数值，称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算，可以得到，此变数在这两点之间任何点的数值。而且，作用量方法与微分方程方法所得到的答案完全相同。

哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价：描述物理系统运动的微分方程，也可以用一个等价的积分方程来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或重力场，这描述都是正确的。更加地，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。

用变分法数学语言来描述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值），可以得到这系统随时间的演化（就是说，系统怎样从一个状态演化到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演化对于任何摄动必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程。

在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。

作用量（泛函）

最常见的作用量是一个泛函${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$ ，输入是参数为时间与空间的函数，输出是一个标量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点${\displaystyle t_{1}\,\!}$ ，${\displaystyle t_{2}\,\!}$ 之间广义坐标${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}$ 的演变。

作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$ 定义为，在两个时间点之间，系统的拉格朗日量${\displaystyle L\,\!}$ 对于时间的积分：

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}$ 。

根据哈密顿原理，正确的演化${\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!}$ 要求平稳的作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$ （最小值、最大值、鞍值）。经过运算，结果就是拉格朗日方程。

简略作用量（泛函）

简略作用量也是一个泛函，通常标记为${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}$ 。这里，输入函数是物理系统移动的一条路径，完全不考虑时间参数。举例而言，一个行星轨道的路径是个椭圆，一个粒子在均匀重力场的路径是抛物线；在这两种状况，路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}$ 定义为广义动量${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$ 沿着路径的积分：

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {q} \,\!}$ 是广义坐标．根据莫佩尔蒂原理，正确路径的简略作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}$ 是平稳的。

哈密顿主函数

主条目：哈密顿主函数。

哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程定义的。哈密顿-雅可比方程是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数${\displaystyle S\,\!}$ 与泛涵${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$ 有密切的关系。固定住初始时间${\displaystyle t_{1}\,\!}$ 和其对应的坐标点${\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!}$ ；而准许时间上限${\displaystyle t_{2}\,\!}$ 和其对应的坐标点${\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}$ 的改变。取${\displaystyle t_{2}\,\!}$ 和${\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}$ 为函数${\displaystyle S\,\!}$ 的参数。换句话说，作用量函数${\displaystyle S\,\!}$ 是拉格朗日量对于时间的不定积分：

${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}$ 。

更加地，可以证明${\displaystyle \mathbf {P} \,\!}$ 是某常数向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 。所以，

${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!}$ 。

哈密顿特征函数

主条目：哈密顿特征函数。

假若，哈密顿量${\displaystyle H\,\!}$ 是守恒的；

${\displaystyle H=\alpha \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \alpha \,\!}$ 是常数。

设定哈密顿特征函数${\displaystyle W\,\!}$ 为

${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!}$ 。

则哈密顿特征函数${\displaystyle W\,\!}$ 是一个作用量。

更加地，

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!}$ 。

对于时间积分：

${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!}$ 。

这正是简略作用量的方程。

哈密顿-雅可比方程的其他解

主条目：哈密顿-雅可比方程。

哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程是完全可分的；则哈密顿主函数${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}$ 分出的每一个项目${\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}$ 也称为"作用量"。

作用量-角度坐标

主条目：作用量-角度坐标。思考一个作用量-角度坐标的广义动量变数${\displaystyle J_{k}\,\!}$ ，定义为在相空间内，关于转动运动或振荡运动，广义动量的闭路径积分：

${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!}$ 。

这变数${\displaystyle J_{k}\,\!}$ 称为广义坐标${\displaystyle q_{k}\,\!}$ 的作用量；相应的正则坐标是角度${\displaystyle w_{k}\,\!}$ 。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分向量；这里，只有一个标量变数${\displaystyle q_{k}\,\!}$ 被用来积分。作用量${\displaystyle J_{k}\,\!}$ 等于，随着${\displaystyle q_{k}\,\!}$ 沿着闭路径，${\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!}$ 的改变。应用于几个有趣的物理系统，${\displaystyle J_{k}\,\!}$ 或者是常数，或者改变非常地慢。因此，${\displaystyle J_{k}\,\!}$ 时常应用于摄动理论与缓渐不变量的研究。

哈密顿流作用量

参阅重言1形式。

哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点${\displaystyle t_{1}\,\!}$ 、${\displaystyle t_{2}\,\!}$ 的运动是正确运动，则作用量泛函${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$ 的一次变分${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}$ 为零。用数学方程表示，定义作用量为

${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!}$ 。

其中，${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$ 是系统的拉格朗日函数，广义坐标${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!}$ 是时间的函数。

假若，${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}$ 是系统的正确运动，则${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!}$ 。

从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程．假设${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}$ 是系统的正确运动，让${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}$ 成为一个摄动${\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!}$ ；摄动在轨道两个端点的值是零：

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}$ 。

取至${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}$ 的一阶摄动，作用量泛函的一次变分为

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}$ 。

这里，将拉格朗日量${\displaystyle L\,\!}$ 展开至${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}$ 的一阶摄动。

应用分部积分法于最右边项目，

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}$ 。

边界条件${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}$ 使第一个项目归零。所以，

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}$ 。

要求作用量泛函${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$ 平稳。这意味着，对于正确运动的任意摄动${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}$ ，一次变分${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}$ 必须等于零：

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!}$ 。

请注意，还没有对广义坐标${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}$ 做任何要求。现在，要求所有的广义坐标都互相无关（完整限制）。这样，根据变分法基本引理，可以得到拉格朗日方程：

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!}$ 。

在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。

对应于广义坐标${\displaystyle q_{k}\,\!}$ 的广义动量${\displaystyle p_{k}\,\!}$ ，又称为共轭动量，定义为

${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}$ 。

假设${\displaystyle L\,\!}$ 不显性地跟广义坐标${\displaystyle q_{k}\,\!}$ 有关，

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!}$ ，

则广义动量${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}$ 是常数。在此种状况，坐标${\displaystyle q_{k}\,\!}$ 称为循环坐标。举例而言，如果用极坐标系${\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!}$ 来描述一个粒子的平面运动，而${\displaystyle L\,\!}$ 与${\displaystyle \theta \,\!}$ 无关，则广义动量是守恒的角动量。

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 诺特定理
• 爱因斯坦-希尔伯特作用量
• 最小作用量原理

• [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆），Edwin F. Taylor加了注释的参考书目。
• 最小作用量原理 （页面存档备份，存于互联网档案馆）非常好地互动解释。

• Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, OCLC 35269891, pages 840–842。
• Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早书。
• Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。