拉格朗日方程

假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$ 是拉格朗日量，${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,\!}$ 是广义坐标，是时间${\displaystyle t\,\!}$ 的函数，${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=\left({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{N}\right)\,\!}$ 是广义速度。

在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程（参阅达朗贝尔原理）；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程（参阅哈密顿原理）；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导：

设定函数${\displaystyle \mathbf {y} (x)\,\!}$ 和${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$ ：

${\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}$ 、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!}$ 、

${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle x\,\!}$ 是自变量（independent variable）。

若${\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}$ 使泛函${\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!}$ 取得局部平稳值，则在区间${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$ 内，欧拉-拉格朗日方程成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\right)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\!}$ 。

现在，执行下述变换：

• 设定独立变量${\displaystyle x\,\!}$ 为时间${\displaystyle t\,\!}$ 、
• 设定函数${\displaystyle y_{i}\,\!}$ 为广义坐标${\displaystyle q_{i}\,\!}$ 、
• 设定泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$ 为拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$ ，

则可得到拉格朗日方程

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!}$ 。

• 为了满足这变换的正确性，广义坐标必须互相独立，所以，这系统必须是完整系统。
• 拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势。所以，这系统必须是单演系统。

主项目：参阅半完整系统

一个不是完整系统的物理系统是非完整系统，不能用上述形式论来分析。假若，一个非完整系统的约束可以以方程表示为

${\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!}$ ；

则称此系统为半完整系统^[1]。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$ ：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}=0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$ 是未知函数。

由于这${\displaystyle N\,\!}$ 个广义坐标中，有${\displaystyle n\,\!}$ 个相依的广义坐标，泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$ 不能直接被变换为拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ ；必须加入拉格朗日乘子，将泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$ 变换为${\displaystyle {\mathcal {L}}+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\,\!}$ 。这样，可以得到拉格朗日广义力方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}={\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}$ 是广义力，${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)\right]\,\!}$ 。

这${\displaystyle N\,\!}$ 个广义力运动方程加上${\displaystyle n\,\!}$ 个约束方程，给出${\displaystyle N+n\,\!}$ 个方程来解${\displaystyle N\,\!}$ 个未知广义坐标与${\displaystyle n\,\!}$ 个拉格朗日乘子。

这个段落会展示拉格朗日方程的两个应用实例。第一个实例展示出，用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力，因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。

自由落体

思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力${\displaystyle F=mg\,\!}$ 作用于此粒子，应用牛顿第二定律，可以得到运动方程

${\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!}$ ；

其中，x-坐标垂直于地面，由初始点（原点）往地面指。

这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能${\displaystyle T\,\!}$ 是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!}$ ，

位势${\displaystyle V\,\!}$ 是

${\displaystyle V=-mgx\,\!}$ ；

所以，拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 是

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+mgx\,\!}$  。

将${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 代入拉格朗日方程，

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {d{\dot {x}}}{dt}}-mg\,\!}$ 。

运动方程是

${\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!}$ ；

与牛顿方法的运动方程相同。

具有质量的移动支撑点的简单摆

思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面，y-轴垂直于x-轴，指向地面。摆锤P的质量是${\displaystyle m\,\!}$ ，位置是${\displaystyle (x,\ y)\,\!}$ 。摆绳的长度是${\displaystyle l\,\!}$ 。摆的支撑点Q的质量是${\displaystyle M\,\!}$ 。这支撑点Q可以沿着一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是${\displaystyle (X,\ 0)\,\!}$ 。摆绳与y-轴的夹角是${\displaystyle \theta \,\!}$ 。那么，动能是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)\,\!}$ ，

位势为

${\displaystyle V=-mgy\,\!}$ 。

所以，拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)+mgy\,\!}$ 。

两个约束方程为

${\displaystyle x=X+l\sin \theta \,\!}$ 、

${\displaystyle y=l\cos \theta \,\!}$ 。

将约束方程代入拉格朗日量方程,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {X}}+l{\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(l{\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mgl\cos \theta \,\!}$ 。

特别注意，在这里，广义坐标是${\displaystyle X\,\!}$ 与${\displaystyle \theta \,\!}$ 。应用拉格朗日方程，经过微分运算，对于${\displaystyle X\,\!}$ 坐标，可以得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta \right]=0\,\!}$ 。

运动方程为

${\displaystyle (M+m){\ddot {X}}+ml{\ddot {\theta }}\cos \theta -ml{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,\!}$ 。

由于拉格朗日量不显含广义坐标${\displaystyle X\,\!}$ ，称${\displaystyle X\,\!}$ 为可略坐标，而其相对应的广义动量${\displaystyle p_{X}\,\!}$ 是常数${\displaystyle K_{1}\,\!}$ ：

${\displaystyle p_{X}=(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta =K_{1}\,\!}$ 。

对于${\displaystyle \theta \,\!}$ 坐标，可以得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[m(l^{2}{\dot {\theta }}+{\dot {X}}l\cos \theta )\right]+m({\dot {X}}l{\dot {\theta }}+gl)\sin \theta =0\,\!}$ ；

所以，运动方程为

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {X}}{l}}\cos \theta +{\frac {g}{l}}\sin \theta =0\,\!}$ 。

假如用牛顿第二定律，则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。

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