广义速度

在三维空间里，一个质量为${\displaystyle m\,\!}$ 、速度为${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 的粒子的动能是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!}$ 。

速度是位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 对于时间${\displaystyle t\,\!}$ 的导数。应用偏微分链式法则，可以得到

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle q_{i}\,\!}$ 是第${\displaystyle i\,\!}$ 个广义坐标，${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\,\!}$ 是对应的广义速度。

所以，

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!}$ 。

将方程展开^[1]，动能可以分为三个项目表示：

${\displaystyle T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!}$ ；

其中，

${\displaystyle T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!}$ ，

${\displaystyle T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!}$ ，

${\displaystyle T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!}$ 。

${\displaystyle T_{0}\,\!}$ 、${\displaystyle T_{1}\,\!}$ 、${\displaystyle T_{2}\,\!}$ 分别为广义速度${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\,\!}$ 的0次、1次、2次齐次函数。如果这系统是定常系统，位置不显性地含时间，${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!}$ ，则只有${\displaystyle T_{2}\,\!}$ 不等于零。所以，${\displaystyle T=T_{2}\,\!}$ ，动能是广义速度的2次齐次函数。

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 虚功
• 广义力

1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 25. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)