直线

在解析几何中，我们常用线性方程描述一条直线。

二维直角坐标系方程

平行于x-或y-轴

最简单的直线方程是平行于x-轴或y-轴的直线：

${\displaystyle x=a\;}$  或 ${\displaystyle \;y=b}$ ，

当中 ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle b}$  分别是x-和y-截距。

一般式

对于所有的直线，都可以形式

${\displaystyle Ax+By+C=0}$ 

来表示。

这表示示形式并不是唯一的，但习惯上常限制 ${\displaystyle A\geq 0}$  及 ${\displaystyle \gcd(A,B,C)=1}$  。在此限制下，同一条直线只有一种表达形式。

在这形式下，直线的斜率是 ${\displaystyle -{\frac {A}{B}}}$  ，x-截距是 ${\displaystyle -{\frac {C}{A}}}$  ，y-截距是 ${\displaystyle -{\frac {C}{B}}}$  。

斜截式

在直线不平行于y-轴时，若斜率是 ${\displaystyle m}$  ，y-截距是 ${\displaystyle b}$  ，则有方程

${\displaystyle y=mx+b}$  。

在这形式下，直线的表达形式是唯一的。

二点式

若直线穿过两点 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$  和 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$  ，则有方程

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}}$ 。

等价地，可以用行列式

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$ 

表示。

点斜式

若直线穿过一点 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  ，而且斜率是 ${\displaystyle m}$ ，则有方程

${\displaystyle y-y_{0}=m\,(x-x_{0})}$ 。

截距式

若直线的x-和y-截距分别是 ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle b}$  ，则方程为

${\displaystyle {x \over a}+{y \over b}=1}$ 。

法线式

过原点向直线作一垂直线段，若该线长度为 ${\displaystyle p}$  ，且与正x-轴的倾斜角为 ${\displaystyle \alpha }$  ，则有方程

${\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0}$ 。

向量式

若直线穿过一点 ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\\end{bmatrix}}}$  ，且有方向向量 ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{x}\\u_{y}\\\end{bmatrix}}}$  ，则有向量方程

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {u} }$ ，

当中 ${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}}$  ，而 ${\displaystyle \lambda }$  是一任意实数。

须要注意的是，这直线的表达形式并不是唯一的。

参数式

从向量式出发，可以参数 ${\displaystyle \lambda }$  表示方程

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;=\;&&x_{0}&&\;+\;&&u_{x}\lambda &\\y&&\;=\;&&y_{0}&&\;+\;&&u_{y}\lambda \end{alignedat}}}$  ，

其中 ${\displaystyle \lambda }$  是一任意实数。

三维直角坐标系方程

在三维坐标上，由于一条等式只代表一个平面，一条直线须由最少两条等式定义。

平行于x-、y-或z-轴

平行于x-、y-或z-轴的直线有方程

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y&&\;=\;&&b&\\z&&\;=\;&&c\end{alignedat}}\,}$  、${\displaystyle \,{\begin{alignedat}{3}x&&\;=\;&&a&\\z&&\;=\;&&c\end{alignedat}}\,}$  或 ${\displaystyle \,{\begin{alignedat}{3}x&&\;=\;&&a&\\y&&\;=\;&&b\end{alignedat}}}$ 

的形式。

一般式

对于任何直线，一般式都能以两个非平行平面定义：

${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}A_{1}x&&\;+\;&&B_{1}y&&\;+\;&&C_{1}z\;&&+\;&&D_{1}\;&&=\;&&0&\\A_{2}x&&\;+\;&&B_{2}y&&\;+\;&&C_{2}z\;&&+\;&&D_{2}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  ，

其中 ${\displaystyle A_{1}:B_{1}:C_{1}\neq A_{2}:B_{2}:C_{2}}$  。

由于从一条直线可引申出无限对平面，这表示方式并不是唯一的。因此又能考虑以三个共线平面定义：

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}Ax&&\;-\;&&By&&\;+\;&&D\;&&=\;&&0&\\Cy&&\;-\;&&Az&&\;+\;&&E\;&&=\;&&0&\\Bz&&\;-\;&&Cx&&\;+\;&&F\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$ ，

或合并记作

${\displaystyle Ax-By+D=Cy-Az+E=Bz-Cx+F=0}$ ，

其中系数须乎合关系 ${\displaystyle AF+BE+CD=0}$  ，以保证三个平面相交于同一直线。

事实上，这三条等式分别对应着直线在xy-、yz-和xz-平面的投影。

在限制 ${\displaystyle A\geq 0}$  及 ${\displaystyle \gcd(A,B,C,D,E,F)=1}$  下，同一条直线只有一种表达形式。

（注：对于平行于轴平面的直线，例如 ${\displaystyle 2y-3z+1=x-1=0}$  ，会有以下表示方式：

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;\;&&&&\;-\;&&3\;&&=\;&&0\\2y&&\;-\;&&3z&&\;+\;&&1\;&&=\;&&0\\&&\;-\;&&2x&&\;+\;&&2\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  。

对于定义一条直线，这步骤是非必要的。但在本页往后的部分，这表示方式能简化一些公式。）

斜截式

类似于二维的情形，在直线不平行于yz-轴平面时，可以写成

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}y&&\;=\;&&mx&&\;+\;&&b\\z&&\;=\;&&nx&&\;+\;&&c\end{alignedat}}}$ 

的形式。

在这形式下，直线的表达形式是唯一的。

（注：对于直线平行于yz-平面时，以上方式并不适用。但直线仍可表示成

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x\;&=\;a\\z\;&=\;ny+c\end{alignedat}}}$  。）

二点式

若直线穿过两点 ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$  和 ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$  ，则有方程

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}}$  。

等价地，可以用行列式

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y&z&1\\y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}z&x&1\\z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$ 

表示。

向量式

若直线穿过一点 ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\\end{bmatrix}}}$  ，且有方向向量 ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\\\end{bmatrix}}}$  ，则有向量方程

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {u} }$  ，

当中 ${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}}$  ，而 ${\displaystyle \lambda }$  是一任意实数。

须要注意的是，这直线的表达形式并不是唯一的。

参数式

从向量式出发，可以参数 ${\displaystyle \lambda }$  表示方程

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;=\;&&x_{0}&&\;+\;&&u_{x}\lambda &\\y&&\;=\;&&y_{0}&&\;+\;&&u_{y}\lambda &\\z&&\;=\;&&z_{0}&&\;+\;&&u_{z}\lambda \end{alignedat}}}$  ，

其中 ${\displaystyle \lambda }$  是一任意实数。

点与直线的距离

一般情况下，点与直线的距离，是指点到直线的最短距离，即垂直距离。

在二维直角坐标中，直线 ${\displaystyle Ax+By+C=0}$  与点 ${\displaystyle (p,q)}$  的最短距离为

${\displaystyle d={\frac {\left|Ap+Bq+C\right|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$ 

给出向量式 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {u} }$  和 点 ${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{bmatrix}p\\q\\\end{bmatrix}}}$  ，则有距离

${\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\times \mathbf {u} \right|}{\left|\mathbf {u} \right|}}}$ 

在三维直角坐标中，直线 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}Ax&&\;-\;&&By&&\;+\;&&D\;&&=\;&&0&\\Cy&&\;-\;&&Az&&\;+\;&&E\;&&=\;&&0&\\Bz&&\;-\;&&Cx&&\;+\;&&F\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  与点 ${\displaystyle (p,q,r)}$  的最短距离为

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {(Ap-Bq+D)^{2}+(Cq-Ar+E)^{2}+(Br-Cp+F)^{2}}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$ 。

给出向量式 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {u} }$  和点 ${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{bmatrix}p\\q\\r\\\end{bmatrix}}}$  ，则有距离

${\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\times \mathbf {u} \right|}{\left|\mathbf {u} \right|}}}$ 

两条相交直线的相交点

不考虑重合的情形，在二维平面中，两条相交直线可以相交或平行。

给定两条直线 ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}$  和 ${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$  ，二者相交的条件是

${\displaystyle A_{1}:B_{1}\neq A_{2}:B_{2}}$ 。

或等价地，

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}\neq 0}$ ，

当中 ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$ 。

这时两线的相交点可从克莱姆法则求得

${\displaystyle x=-{\frac {\begin{vmatrix}C_{1}&B_{1}\\C_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}}$  ， ${\displaystyle y=-{\frac {\begin{vmatrix}A_{1}&C_{1}\\A_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}}$ 。

在三维空间中，不考虑重合的情形，两条直线可以相交、平行或歪斜（异面）。

给定两条直线 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}A_{1}x&&\;-\;&&B_{1}y&&\;+\;&&D_{1}\;&&=\;&&0&\\C_{1}y&&\;-\;&&A_{1}z&&\;+\;&&E_{1}\;&&=\;&&0&\\B_{1}z&&\;-\;&&C_{1}x&&\;+\;&&F_{1}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  及 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}A_{2}x&&\;-\;&&B_{2}y&&\;+\;&&D_{2}\;&&=\;&&0&\\C_{2}y&&\;-\;&&A_{2}z&&\;+\;&&E_{2}\;&&=\;&&0&\\B_{2}z&&\;-\;&&C_{2}x&&\;+\;&&F_{2}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  ，二者相交的条件是

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}$  、 ${\displaystyle {\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}}$  及 ${\displaystyle {\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}}$  不全为 ${\displaystyle 0}$  ，且

${\displaystyle A_{1}F_{2}+A_{2}F_{1}+B_{1}E_{2}+B_{2}E_{1}+C_{1}D_{2}+C_{2}D_{1}=0}$ 。

这时两线的相交点可从克莱姆法则求得

${\displaystyle x=-{\frac {\begin{vmatrix}D_{1}&B_{1}\\D_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {\begin{vmatrix}B_{1}&F_{1}\\B_{2}&F_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}}}$  ， ${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}A_{1}&D_{1}\\A_{2}&D_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}E_{1}&A_{1}\\E_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}}}$  ， ${\displaystyle z={\frac {\begin{vmatrix}C_{1}&E_{1}\\C_{2}&E_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{1}&C_{1}\\F_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}}}$  。

两条相交直线的夹角

若两线相交，则会形成夹角。两线之间的夹角，通常指不大于90°的一只。

在二维平面上，给定直线 ${\displaystyle y=mx+b}$  ，该线与x-轴的夹角为

${\displaystyle \tan \theta =\left|m\right|}$  。

给定两条直线 ${\displaystyle y=m_{1}x+b_{1}}$  和 ${\displaystyle y=m_{2}x+b_{2}}$  ，二者互相垂直当且仅当

${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1}$  。

而其他情况，两线相交所形成的夹角 ${\displaystyle \theta }$  （${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta <90^{\circ }}$ ），则由

${\displaystyle \tan \theta =\left|{\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right|}$ 

给出。

给定相交直线向量式 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u_{1}} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u_{2}} }$  ，则有

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u_{1}} \cdot \mathbf {u_{2}} }{\left|\mathbf {u_{1}} \right|\left|\mathbf {u_{2}} \right|}}}$  。

在三维空间中，给定两条相交直线 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}y&&\;=\;&&m_{1}x&&\;+\;&&b_{1}\\z&&\;=\;&&n_{1}x&&\;+\;&&c_{1}\end{alignedat}}}$  和 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}y&&\;=\;&&m_{2}x&&\;+\;&&b_{2}\\z&&\;=\;&&n_{2}x&&\;+\;&&c_{2}\end{alignedat}}}$  ，二者互相垂直当且仅当

${\displaystyle m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}=-1}$  。

而其他情况，两线相交所形成的夹角 ${\displaystyle \theta }$  （${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta <90^{\circ }}$ ），则由

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {(m_{1}-m_{2})^{2}+(n_{1}-n_{2})^{2}+{\begin{vmatrix}m_{1}&m_{2}\\n_{1}&n_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}{\left|1+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}\right|}}}$ 

给出，当中 ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$  。

若取 ${\displaystyle n_{1}=n_{2}=0}$  ， 则公式退化成二维的形式。

给定相交直线向量式 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u_{1}} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u_{2}} }$  ，则有

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u_{1}} \cdot \mathbf {u_{2}} }{\left|\mathbf {u_{1}} \right|\left|\mathbf {u_{2}} \right|}}}$ 。

两条直线的距离

一般情况下，两条直线的距离，是指最短距离。

二维情况下，两条相交直线的距离必然为 ${\displaystyle 0}$  。

若有两条平行直线 ${\displaystyle Ax+By+C_{1}=0}$  及 ${\displaystyle Ax+By+C_{2}=0}$  ，则有距离

${\displaystyle d={\frac {\left|C_{1}-C_{2}\right|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$ 。

给定平行向量式 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u} }$  ，则有

${\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a_{1}} -\mathbf {a_{2}} )\times \mathbf {u} \right|}{\left|\mathbf {u} \right|}}}$ 。

三维情况下，两条相交直线的距离同样必然为 ${\displaystyle 0}$  。

若有两条平行直线 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}Ax&&\;-\;&&By&&\;+\;&&D_{1}\;&&=\;&&0&\\Cy&&\;-\;&&Az&&\;+\;&&E_{1}\;&&=\;&&0&\\Bz&&\;-\;&&Cx&&\;+\;&&F_{1}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  及 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}Ax&&\;-\;&&By&&\;+\;&&D_{2}\;&&=\;&&0&\\Cy&&\;-\;&&Az&&\;+\;&&E_{2}\;&&=\;&&0&\\Bz&&\;-\;&&Cx&&\;+\;&&F_{2}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  ，则有距离

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {(D_{1}-D_{2})^{2}+(E_{1}-E_{2})^{2}+(F_{1}-F_{2})^{2}}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$ 。

给定平行直线向量式 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u} }$  ，则有

${\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a_{1}} -\mathbf {a_{2}} )\times \mathbf {u} \right|}{\left|\mathbf {u} \right|}}}$ 。

两条歪斜直线（即既非相交，亦非平行）有方程 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}A_{1}x&&\;-\;&&B_{1}y&&\;+\;&&D_{1}\;&&=\;&&0&\\C_{1}y&&\;-\;&&A_{1}z&&\;+\;&&E_{1}\;&&=\;&&0&\\B_{1}z&&\;-\;&&C_{1}x&&\;+\;&&F_{1}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  及 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}A_{2}x&&\;-\;&&B_{2}y&&\;+\;&&D_{2}\;&&=\;&&0&\\C_{2}y&&\;-\;&&A_{2}z&&\;+\;&&E_{2}\;&&=\;&&0&\\B_{2}z&&\;-\;&&C_{2}x&&\;+\;&&F_{2}\;&&=\;&&0\end{alignedat}}}$  ，则有距离

${\displaystyle d={\frac {\left|A_{1}F_{2}+A_{2}F_{1}+B_{1}E_{2}+B_{2}E_{1}+C_{1}D_{2}+C_{2}D_{1}\right|}{\sqrt {{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}}}$  ，

当中 ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$  。

给定歪斜直线向量式 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{1}} +\lambda \mathbf {u_{1}} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a_{2}} +\mu \mathbf {u_{2}} }$  ，则有距离

${\displaystyle d={\frac {\left|(\mathbf {a_{1}} -\mathbf {a_{2}} )\cdot (\mathbf {u_{1}} \times \mathbf {u_{2}} )\right|}{\left|\mathbf {u_{1}} \times \mathbf {u_{2}} \right|}}}$ 。

• 解析几何
• 点
• 平面
• 相交
• 平行
• 歪斜

• 俞正光、李永乐、詹汉生编，《线性代数与解析几何》，清华大学出版社。
• 吕林根，《解析几何》，高等教育出版社。
• Line （页面存档备份，存于互联网档案馆） ，Wolfram MathWorld。
• Equations of a Straight Line （页面存档备份，存于互联网档案馆） ，Cut-the-Knot。