克莱姆法则

克莱姆法则克莱姆法则(英语:Cramer's rule / formula)是一个线性代数中的定理,用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在计算上,并非最有效率之法,因而在很多条等式的情况中没有广泛应用。不过,这一定理在理论性方面十分有效。

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

基本方程

一个线性方程组可以用矩阵向量的方程来表示:

 

其中的 是一个 方块矩阵,而向量   是一个长度为n行向量(中国大陆为列向量)。  也一样。

克莱姆法则说明:如果 是一个可逆矩阵  ),那么方程(1)有解  ,其中

  (1)

当中 是列向量 的第i行(行向量与列向量不一样,解释默认列向量)

当中 是列向量 取代了 的第i列后得到的矩阵。为了方便,我们通常使用 来表示 ,用 来表示 。所以等式(1)可以写成为:

 

抽象方程

 为一个环, 就是一个包含 的系数的 矩阵。所以:

 

当中 就是 的行列式,以及 就是单位矩阵

证明概要

对于 元线性方程组  

把系数矩阵   表示成行向量的形式

 

由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解 .

 ,即

 

考虑 的值,利用行列式线性和交替性质,有

 

于是

 

例子

运用克莱姆法则可以很有效地解决以下方程组。

已知:

 
 

使用矩阵来表示时就是:

 

当矩阵可逆时,x和y可以从克莱姆法则中得出:

 
以及
 

用3×3矩阵的情况亦差不多。

已知:

 
 
 

当中的矩阵表示为:

 

当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:

 、       以及    

微分几何上的应用

克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用。

先考虑两条等式  。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我们可定义  

找出一条等式适合 是克莱姆法则的简单应用。

首先,我们要计算    的导数:

 
 
 
 

  代入  ,可得出:

 
 

因为  互不相关,所以  的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成:

 
 
 
 

现在用克莱姆法则就可得到:

 

用两个雅可比矩阵来表示的方程:

 

用类似的方法就可以找到  以及 

基本代数上的应用

克莱姆法则可以用来证明一些线性代数中的定理,当中的定理对环理论十分有用。

线性规划上的应用

克莱姆法则可以用来证明一个线性规划问题有一个基本整数的解。这样使得线性规划的问题更容易被解决。

参考文献

外部链接