幂零矩阵

考虑以下的矩阵：

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$ 

这是一个4×4的幂零矩阵的例子（实际上，这种形式的矩阵称为转移矩阵）。注意非零的超对角线。这个矩阵的特征为：

${\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$ 

超对角线不断向右上角“移动”，直到完全消失，得到零矩阵。

对应的幂零变换L : R⁴ → R⁴由下式定义：

${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0)\ }$ 

有一个分类定理证明这是典型的：幂零矩阵与分块矩阵是相似的，其对角线上的区块推广了这种类型，而其它区块为零。

设M为n×n的幂零矩阵。

• 满足M^q = 0的最小整数q小于或等于n。
• 在代数封闭域上，矩阵M是幂零的，当且仅当它的所有特征值为零。因此，M的行列式和迹都为零，所以幂零矩阵必为奇异方阵。
• 假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵，则${\displaystyle A^{-1}B}$ 是幂零矩阵，当且仅当${\displaystyle \det(A+tB)}$ 与t无关。这是因为：

${\displaystyle \det(A+tB)=\det A\cdot \det(I+tA^{-1}B)=\det A\cdot \prod _{k}(1+\lambda _{k}t)}$ 

其中${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ 是${\displaystyle A^{-1}B}$ 的特征值。

• M的特征多项式为λⁿ。
• 每一个严格的上三角矩阵或下三角矩阵都是幂零矩阵。
• 每一个奇异方阵都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。^[1]

以上的例子是典型的，这是因为以下的结果。每一个幂零矩阵都与以下的分块矩阵相似：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}}}$ 

其中区块${\displaystyle N_{i}}$ 在超对角线上为一，在其它地方为零：

${\displaystyle N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}}$ 

这可以从若尔当标准形，以及每一个与幂零矩阵相似的矩阵也是幂零的事实推出。

1. ^ R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

• PlanetMath上的幂零矩阵 （页面存档备份，存于互联网档案馆）和幂零变换 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。