列维-奇维塔符号

列维-奇维塔符号最常用于三维和四维，并在一定程度上用于二维，因此在定义一般情况之前，先给出这些符号值。

二维

在二维中，列维-奇维塔符号定义如下：

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,}$	当 ${\displaystyle \left(i,j\right)=\left(1,2\right)}$
	当 ${\displaystyle \left(i,j\right)=\left(2,1\right)}$
	当 ${\displaystyle i=j}$

这些值可以排列成 2×2 反对称矩阵：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ 

相对于其他维度，二维的列维-奇维塔符号并不常见，虽然在某些专门的主题，如超对称和扭量理论中，谈及2-旋量时会用到。

三维

三维以上的列维-奇维塔符号更常用。在三维中，列维-奇维塔符号定义如下：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,}$	当 ${\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(1,2,3\right)}$  、 ${\displaystyle \left(2,3,1\right)}$  或 ${\displaystyle \left(3,1,2\right)}$
	当 ${\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(3,2,1\right)}$  、 ${\displaystyle \left(2,1,3\right)}$  或 ${\displaystyle \left(1,3,2\right)}$
	当 ${\displaystyle i=j}$  、 ${\displaystyle j=k}$  或 ${\displaystyle i=k}$

也就是说，如果 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的偶排列，则符号值为 +1 。如果是奇排列，则符号值为 −1 。如果任何两个索引重复，则符号值为 0 。

仅在三维中， (1, 2, 3) 的循环排列都是偶排列，反循环排列都是奇排列。这意味着在三维中，仅观察 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的循环排列，还是反循环排列，就足以分辨其奇偶性。

类似于二维矩阵，三维列维-奇维塔符号的值可以排成 3×3×3 阵列：

其中 i 是深度 (蓝色: i = 1; 红色: i = 2; 绿色: i = 3) ， j 是横行，k 是直列。

以下是一些例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}}$ 

四维

在四维中，列维-奇维塔符号定义如下：

${\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,}$	当 ${\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)}$  的偶排列
	当 ${\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)}$  的奇排列
	其余情况，即任意两个指标相等

这些值可以排成 4×4×4×4 阵列，然而四维以上较难描绘出示意图。

以下是一些例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}}$ 

推广到高维

更一般地推广到 n 维中，则列维-奇维塔符号的定义为：

又可使用求积符号 ∏ 表达为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}}$ 

其中的 sgn(x) 是符号函数，根据 x 的正负给出 +1 、 0 或 −1。该公式对对于任何 n 及任何指标排列都有效（当 n = 0 或 1 时，定义为空积 1）。

然而，计算以上公式的时间复杂度为 O(n²) ，而以不交循环排列的性质计算，则只需 O(n log(n)) 。

两个列维-奇维塔符号的积，可以用一个以广义克罗内克函数表示的行列式求得：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{mnl\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{im}&\delta _{in}&\delta _{il}&\dots \\\delta _{jm}&\delta _{jn}&\delta _{jl}&\dots \\\delta _{km}&\delta _{kn}&\delta _{kl}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}$ 

行列式

在线性代数中， 3×3 的方阵 A = (a_ij) ：

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}$ ，

其行列式可以写为：

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\,a_{1i}\,a_{2j}\,a_{3k}}$ ，

类似地， n×n 矩阵 A = (a_ij) 的行列式可以写为：

${\displaystyle \det(A)=\sum _{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}=1}^{n}\varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,a_{1a_{1}}\,a_{2a_{2}}\,\cdots \,a_{na_{n}},}$ 

向量的叉积

对于向量 a 与 b ，它们的叉积：

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}\,{\boldsymbol {e}}_{k}}$ 

对于向量 a 、 b 与 c ，它们的三重积：

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}c_{k}}$ 

由列维-奇维塔符号给出（共变等级为n）张量在正交基础中的组成部分，有时称为“排列张量”。

根据普通的张量变换规则，列维-奇维塔符号在纯旋转下不变，与正交变换相关的所有坐标系统（在定义上）相同。然而，列维-奇维塔符号是一种赝张量，因为在雅可比行列式−1的正交变换之下，例如，一个奇数维度的镜射，如果它是一个张量，它“应该”有一个负号。由于它根本没有改变，所以列维-奇维塔符号根据定义，是一个赝张量。

由于列维-奇维塔符号是赝张量，因此取叉积的结果是赝张量，而不是向量。

在一般坐标变换下，排列张量的分量乘以变换矩阵的雅可比。这表示在与定义张量的坐标系不同的坐标系中，其组成部分与列维-奇维塔符号表示的那些，不同之处在于一整体因子。如果坐标是正交的，则根据坐标的方向是否相同，因子将为±1。

在无指标的张量符号中，列维-奇维塔符号被霍奇对偶的概念所取代。

在使用张量的指标符号来操作分量的上下文中，列维-奇维塔符号可以将其指标写为下标或上标，而不改变意义，这也许是方便的如下写成：

${\displaystyle \varepsilon ^{ij\dots k}=\varepsilon _{ij\dots k}.}$ 

在这些例子中，上标应该被视为与下标相同。

使用爱因斯坦标记法可消除求和符号，其中两个或多个项之间重复的指标表示该指标的求和。例如，

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}}$ .

以下的例子使用爱因斯坦标记法。

二维

在二维上，当所有${\displaystyle i}$ ，${\displaystyle j}$ ，${\displaystyle m}$ ，${\displaystyle n}$ 各取值1和2时，

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{n}{\delta _{j}}^{m}}$

(1)

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}}$

(2)

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.}$

(3)

三维

指标和符号值

在三维中，当所有${\displaystyle i}$ ，${\displaystyle j}$ ，${\displaystyle k}$ ，${\displaystyle m}$ ，${\displaystyle n}$ 各取值1,2和3时：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}{}^{m}\delta _{k}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}\delta _{k}{}^{m}}$

(4)

${\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}}$

(5)

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.}$

(6)

乘积

列维-奇维塔符号与克罗内克函数有关。 在三维中，关系由以下等式给出（垂直线表示行列式）：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}}$ 

这个结果的一个特例是(4):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$ 

有时候称为“contracted epsilon identity”。

在爱因斯坦标记法中，${\displaystyle i}$ 指标的重复表示${\displaystyle i}$ 的总和。然后前一个被表示为${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}\delta _{jn}\delta _{km}}$ 

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}$ 

n维

指标和符号值

在n维中，当所有${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n},j_{1},\ldots ,j_{n}}$ take values${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ ：

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}}$

(7)

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}}$

(8)

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!}$

(9)

惊叹号(${\displaystyle !}$ )代表阶乘，而${\displaystyle \delta _{\beta \ldots }^{\alpha \ldots }}$ 是广义克罗内克函数，对于任意n有属性：

${\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!}$ 

从以下事实可得出：

• 每个排列是偶排列或奇排列，
• ${\displaystyle (+1)^{2}=(-1)^{2}=1}$ ，与
• 任何n-元素集合的排列数正好是${\displaystyle n!}$ 。

乘积

一般来说，对于n维，两个列维-奇维塔符号的乘积可以写成：

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}}$ 

证明