三重积

定义

标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。

设${\displaystyle \mathbf {a} }$ 、${\displaystyle \mathbf {b} }$ 、${\displaystyle \mathbf {c} }$ 为三个向量，则标量三重积的定义为

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$ 。

特性

设 ${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$ 、${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$ 、${\displaystyle \mathbf {c} =c_{1}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +c_{3}\mathbf {k} }$ ，则有

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$ 。

证明

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}&=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\cdot {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}\\&=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\cdot (\mathbf {i} {\begin{vmatrix}\ b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\\\end{vmatrix}})\\&=a_{1}{\begin{vmatrix}\ b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\\\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\\\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$ 

利用行列式的特性，可知顺序置换向量的位置不影响标量三重积的值：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$ 

任意对换两个向量的位置，标量三重积与原来相差一个负号：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )}$ 

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$ 

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}$ 

若任意两个向量相等，则标量三重积等于零：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$ 

其他记号

有时候，标量三重积会以括号表示：

${\displaystyle [\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$ 

几何意义

几何上，由三个向量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=\left|{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}\right|}$ 

证明

以 ${\displaystyle \mathbf {b} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {c} }$  来表示底面的边，则根据叉积的定义，底面的面积 ${\displaystyle A}$  为

${\displaystyle A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |}$  ，

其中 ${\displaystyle \theta }$  是 ${\displaystyle \mathbf {b} }$  与 ${\displaystyle \mathbf {c} }$  之间的角，而高 ${\displaystyle h}$  为

${\displaystyle h=|\mathbf {a} |\cos \alpha }$ ，

其中 ${\displaystyle \alpha }$  是 ${\displaystyle \mathbf {a} }$  与 ${\displaystyle h}$  之间的角。

从图中我们可以看到， ${\displaystyle \alpha }$  的大小限定为 ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }}$  。而向量 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$  与 ${\displaystyle \mathbf {a} }$  之间的角 ${\displaystyle \theta }$  则有可能大于90°（${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta <180^{\circ }}$ ）。也就是说，由于 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$  与 ${\displaystyle h}$  平行， ${\displaystyle \theta }$  的值要么等于 ${\displaystyle \alpha }$  ，要么等于 ${\displaystyle 180^{\circ }-\alpha }$  。因此

${\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \theta =|\cos \theta |}$ ，

且

${\displaystyle h=|\mathbf {a} ||\cos \theta |}$ 。

我们得出结论：

${\displaystyle V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \theta |}$  ，

于是，根据点积的定义，它等于 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$  的绝对值，即

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$ 。

证毕。

向量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积，其结果是个向量。

定义

对于三个向量${\displaystyle \mathbf {a} }$ 、${\displaystyle \mathbf {b} }$ 、${\displaystyle \mathbf {c} }$ ，向量三重积的定义为

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$ 。

值得注意的是，一般来说，

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\neq (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} }$ 。

特性

以下恒等式，称作三重积展开或拉格朗日公式，对于任意向量${\displaystyle \mathbf {a} }$ 、${\displaystyle \mathbf {b} }$ 、${\displaystyle \mathbf {c} }$ 均成立：

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {a} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )+\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\end{aligned}}}$ 

英文中有对于第一式有助记口诀BAC-CAB (BACK-CAB，后面的出租车)^[1]，但是不容易记住第一式跟第二式的变化，很容易搞混。 观察两个公式，可得到以下三点：

• 两个分项都带有三个向量 （${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ ）
• 三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合
• 中间的向量所带的系数一定为正（此处为向量${\displaystyle \mathbf {b} }$ ）

证明

我们可以由叉积的定义计算${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$ 的${\displaystyle x}$ 分量：

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$ 

类推至${\displaystyle y}$ 和${\displaystyle z}$ 分量，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$ 

所以

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$ 。

利用上述恒等式，可得以下结果：

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\;+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0}$  （雅可比恒等式）

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$ 

在向量分析中，有以下与梯度相关的一条恒等式：

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} }$ 

这是一个拉普拉斯－德拉姆算子${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} }$ 的特殊情形。

• 向量
• 点积
• 叉积
• 四重积

1. ^ David K. Cheng. Field and Wave Electromagnetics. 2014: 第18页. ISBN 9781292026565.