向量分析
向量分析,或称为向量微积分(英语:Vector calculus)是数学的一个分支,主要研究在3维欧几里得空间 中向量场的微分和积分。“向量分析”有时也用作多元微积分的代名词,其中包括向量分析,以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。
向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中,特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。
向量分析从四元数分析发展而来,由约西亚·吉布斯和奥利弗·黑维塞于19世纪末提出,大多数符号和术语由吉布斯和爱德华·比德韦尔·威尔逊在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积,不能推广到更高维度,而另一种几何代数的方法,它利用可以推广的外积,下文将会讨论。
向量运算
代数运算
向量分析中的基本代数(非微分)的运算称为向量代数,定义在一向量空间,然后应用到整个向量场,包括:
还有两个三重积:
尽管三重积不常作为基本运算,不过仍可以用内积及外积表示。
微分运算
向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子,通常用的向量算子(∇)来表示,也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算:
算子 | 表示 | 叙述 | 界域 |
---|---|---|---|
梯度 | 标量场 于场中某点增加率最大的速率与方向 | 标量场的梯度是向量场 | |
散度 | 向量场 于场中某点附近发散或汇聚的程度 | 向量场的散度是标量场 | |
旋度 | 向量场 于场中某点附近旋转的程度 | 向量场的旋度是向量场 | |
向量拉普拉斯算子 | 均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度 | 向量场的向量拉普拉斯是向量场 | |
拉普拉斯算子 | 对标量场 作梯度运算后,再作散度运算 | 标量场的拉普拉斯是标量场 |
定理
同样,也有几个与这几个相关的重要定理,将微积分基本定理拓展到了更高维度:
定理 | 表示 | 注解 |
---|---|---|
梯度定理 | 梯度(向量)场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。 | |
格林定理 | 平面内向量场中区域的标量旋度,等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。 | |
斯托克斯定理 | 内向量场的旋度的曲面积分,等于向量场在曲面边界上的线积分。 | |
高斯散度定理 | 向量场的散度对体积的积分,等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。 |
参见
- 实函数
- 向量恒等式
- 在圆柱和球坐标系中的del
- 方向导数
- 保守矢量场
- 螺线矢量场
- 拉普拉斯矢量场
- 亥姆霍兹分解
- 正交坐标
- 偏斜坐标
- 曲线坐标
- 张量
延伸阅读
- A History of Vector Analysis(页面存档备份,存于互联网档案馆)