拉普拉斯算子
在数学以及物理中,拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符(英语:Laplace operator, Laplacian)是由欧几里得空间中的一个函数的梯度的散度给出的微分算子,通常写成 、 或 。
这名字是为了纪念法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(1749–1827)而命名的。他在研究天体力学在数学中首次应用算子,当它被施加到一个给定的重力位(Gravitational potential)的时候,其中所述算子给出的质量密度的常数倍。经拉普拉斯算子运算为零 的函数称为调和函数,现在称为拉普拉斯方程,和代表了在自由空间中的可能的重力场。
拉普拉斯算子有许多用途,此外也是椭圆算子中的一个重要例子。
拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程里。例如,常用于波方程的数学模型、热传导方程、流体力学以及亥姆霍兹方程。在静电学中,拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中,其代表薛定谔方程中的动能项。
拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子,并且拉普拉斯算子是霍奇理论的核心,并且是德拉姆上同调的结果。在图像处理和计算机视觉中,拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。
定义
拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子,其定义为对函数 先作梯度运算( )后,再作散度运算( )的结果。因此如果 是二阶可微的实函数,则 的拉普拉斯算子定义为:
- ── (1)
的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 中的所有非混合二阶偏导数:
- ── (2)
作为一个二阶微分算子,对于k ≥ 2,拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式((1)或(2))定义了一个算子Δ:Ck(Rn)→ Ck-2(Rn),或更一般地,定义了一个算子Δ:Ck(Ω)→ Ck-2(Ω),对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹:
坐标表示式
二维空间
- 其中x与y代表x-y平面上的笛卡尔坐标
- 另外极坐标的表示法为:
三维空间
- 笛卡尔坐标系下的表示法
- 圆柱坐标系下的表示法
- 球坐标系下的表示法
N维空间
在参数方程为 (其中 以及 )的 维球坐标系中,拉普拉斯算子为:
其中 是 维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把 的项写成 。
恒等式
- 如果f和g是两个函数,则它们的乘积的拉普拉斯算子为:
- 。
f是径向函数 且g是球谐函数 ,是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。 的梯度是一个径向向量,而角函数的梯度与径向向量相切,因此:
- 。
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数:
- 。
因此:
- 。
谱理论
拉普拉斯算子的谱由特征值 和对应的特征函数 组成,满足:
这就是所谓的亥姆霍兹方程。
如果 在 中有界,拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间 下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理,适用于拉普拉斯的逆算子(根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理,它是紧算子)。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说,这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的,或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时,拉普拉斯的特征函数是球谐函数。
推广
复杂空间上的实值函数
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间,这时它就有可能是椭圆型算子,双曲型算子,或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中,拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子:
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号,而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的,这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量;如果x方向用寸来衡量,y方向用厘米来衡量,也需要一个类似的因子。
值域为复杂空间
向量值函数的拉普拉斯算子
拉普拉斯算子作用在向量值函数上,其结果被定义为一个向量,这个向量的各个分量分别为向量值函数各个分量的拉普拉斯,即
- .
更一般地,对没有坐标的向量,我们用下面的方式定义(受向量恒等式的启发):
- ,也可用类似于拉普拉斯-德拉姆算子的方式定义,然后证明“旋度的旋度”向量恒等式.
拉普拉斯-贝尔特拉米算子
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子(也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子)。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法,是通过拉普拉斯–德拉姆算子,它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。
参见
参考文献
- Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970.
- Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604.
- Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979.
外部链接
- MathWorld: Laplacian (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates (页面存档备份,存于互联网档案馆) by Swapnil Sunil Jain