拉普拉斯算子

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为对函数 ${\displaystyle f}$  先作梯度运算（${\displaystyle \nabla f}$ ）后，再作散度运算（${\displaystyle \nabla \cdot \nabla f}$ ）的结果。因此如果 ${\displaystyle f}$  是二阶可微的实函数，则 ${\displaystyle f}$  的拉普拉斯算子定义为：

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$  ── (1)

${\displaystyle f}$  的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 ${\displaystyle x_{i}}$  中的所有非混合二阶偏导数：

${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}$  ── (2)

作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把C^k函数映射到C^k-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：C^k(Rⁿ)→ C^k-2(Rⁿ)，或更一般地，定义了一个算子Δ：C^k(Ω)→ C^k-2(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

${\displaystyle \Delta f=\mathrm {tr} (H(f)).\,\!}$ 

二维空间

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$ 

其中x与y代表x-y平面上的笛卡尔坐标

另外极坐标的表示法为：

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}}$ 

三维空间

笛卡尔坐标系下的表示法

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$ 

圆柱坐标系下的表示法

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$ 

球坐标系下的表示法

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}$ 

N维空间

在参数方程为${\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}}$ （其中${\displaystyle r\in [0,+\infty )}$ 以及${\displaystyle \theta \in S^{N-1}}$ ）的${\displaystyle N}$ 维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$ 

其中${\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}$ 是${\displaystyle N-1}$ 维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}}$ 的项写成${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}}$ 。

• 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

${\displaystyle \Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g)}$ 。

f是径向函数${\displaystyle f(r)}$ 且g是球谐函数${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )}$ ，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。${\displaystyle f(r)}$ 的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

${\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y_{lm}(\theta ,\phi ))=0}$ 。

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

${\displaystyle \Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$ 。

因此：

${\displaystyle \Delta (f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$ 。

拉普拉斯算子的谱由特征值${\displaystyle \lambda }$ 和对应的特征函数${\displaystyle f}$ 组成，满足：

${\displaystyle -\Delta f=\lambda f}$ 

这就是所谓的亥姆霍兹方程。

如果${\displaystyle \Omega }$ 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中有界，拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ 下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。

复杂空间上的实值函数

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：

${\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.}$ 

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

值域为复杂空间

向量值函数的拉普拉斯算子

拉普拉斯算子作用在向量值函数上，其结果被定义为一个向量，这个向量的各个分量分别为向量值函数各个分量的拉普拉斯，即

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z})}$ ．

更一般地，对没有坐标的向量，我们用下面的方式定义（受向量恒等式的启发）：

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$ ，也可用类似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定义，然后证明“旋度的旋度”向量恒等式．

拉普拉斯－贝尔特拉米算子

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

• 在圆柱和球坐标系中的del

• Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970. 
• Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604. 
• Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979. 

• MathWorld: Laplacian （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Swapnil Sunil Jain