椭圆算子椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。 定义在环形上的拉普拉斯方程上的一个解。拉普拉斯算子是椭圆算子的最有名的一个例子。 椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。双曲（英语：Hyperbolic partial differential equation）方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。 定义 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 域 Ω {\displaystyle \Omega } 上的线性微分算子 L {\displaystyle L} L u = ∑ | α | ≤ m a α ∂ α u {\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u} 被称为椭圆算子，如果对任意 x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } ，任意非零 ξ ∈ R n {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}} 满足 ∑ | α | = m a α ξ α ≠ 0 {\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\neq 0} 。 在许多应用中仅满足上述条件还远远不够，当 m = 2 k {\displaystyle m=2k} 时可用一致椭圆条件代替它： ( − 1 ) k ∑ | α | = 2 k a α ( x ) ξ α > C | ξ | 2 k , {\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},} 其中C是正常数。注意到椭圆性只依赖于最高阶项。 非线性算子 L ( u ) = F ( x , u , ( ∂ α u ) ) | α | ≤ 2 k {\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u))_{|\alpha |\leq 2k}} 是椭圆算子如果它关于 u {\displaystyle u} 的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。 实例：二阶算子 为了说明问题，我们选取二阶偏微分算子形式， P ϕ = ∑ k , j a k j D k D j ϕ + ∑ ℓ b ℓ D ℓ ϕ + c ϕ {\displaystyle P\phi =\sum _{k,j}a_{kj}D_{k}D_{j}\phi +\sum _{\ell }b_{\ell }D_{\ell }\phi +c\phi } 其中 D k = 1 − 1 ∂ x k {\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\partial _{x_{k}}} .如果满足高阶项系数矩阵x [ a 11 ( x ) a 12 ( x ) ⋯ a 1 n ( x ) a 21 ( x ) a 22 ( x ) ⋯ a 2 n ( x ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ( x ) a n 2 ( x ) ⋯ a n n ( x ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}} 为正定实系数对称矩阵，则这样的算子叫做椭圆算子。 参看 抛物偏微分方程 外尔引理
