黎曼流形

黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。

每个Rⁿ的平滑子流形可以导出黎曼度量：把Rⁿ的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以这样产生。

我们可以定义黎曼流形为和Rⁿ的平滑子流形是等距同构的度量空间，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从Rⁿ导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：

如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L（γ）为

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt}$

（注意：γ'（t）是切空间M在γ（t）点的元素；||·||是切空间的内积所得出的范数。）

使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d（x, y）定义为：

d(x,y) = inf{ L(γ) : γ是连接x和y的一条光滑曲线}。

虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在：那就是测地线。

在黎曼流形中，测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容。