微分流形

微分几何（differential geometry）作为一个独特的学科的出现一般归功于高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的著名的康复讲座中描述了多个面向。他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法，并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用：

在一个概念下的事例如果构成n维流形，一个流形的特色可以简单表示其属性，则化简的结果必然是有限个数字，…… - 波恩哈德·黎曼的就职演说《论作为几何学基础的假设》

物理学家马克士威（James Clerk Maxwell）和数学家库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）和齐维塔（Tullio Levi-Civita）的成果导入了张量分析和广义协变性的概念，它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。这些想法在1912年爱因斯坦发展广义相对论理论时取得关键性的应用。外尔（Hermann Weyl）于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代，该课题基础性方面的工作被哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney）等人厘清，使得从19世纪下半叶起开始发展起来的相关的直觉知识变得更精确，并通过微分几何和李群使微分流形的理论得到进一步的发展。

设${\displaystyle r}$  是自然数，${\displaystyle m}$ -维拓扑空间 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  被称为是 ${\displaystyle m}$ -维 ${\displaystyle \mathbf {C} ^{r}}$  可微流形，如果，

1. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  为豪斯多夫空间
2. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  被 ${\displaystyle m}$ -维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  中的 ${\displaystyle m}$ -维坐标邻域族${\displaystyle \left\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\right\}_{\alpha \in A}}$ ，使得${\displaystyle {\mathcal {M}}=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$ 
3. 满足${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }:=W_{\alpha \beta }\neq \phi }$  的任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$ ，其坐标转换

${\displaystyle \varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}:\varphi _{\alpha }(W_{\alpha \beta })\subseteq \mathbb {R} ^{m}\mapsto \varphi _{\beta }(W_{\alpha \beta })\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ 

为一个 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$  到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$  的 ${\displaystyle \mathbf {C} ^{r}}$  映射。

• 注意：每个座标邻域 ${\displaystyle U_{\alpha }}$  都是流形 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  中的开集合。
• 当第三个条件中的座标变换改成是光滑映射（代表可无限次微分）时，满足这三条件的称为光滑流形，写作${\displaystyle \mathbf {C} ^{\infty }}$ 流形；当座标变换不是可微映射，仅是连续映射时，满足这三条件的称为拓扑流形，写作${\displaystyle \mathbf {C} ^{0}}$ 流形。

图册

拓扑空间X上的图册称为卡（chart）的{(U_α, φ_α)}的集合，其中U_α是覆盖 X的开放集合，并且对于每个索引α

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to {\mathbf {R} }^{n}}$ 

是U_α在n维真实空间的开放子集上的同胚。图册的转移映射（transition map）功能是

${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}|_{\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }).}$ 

以图册来定义流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼于1943年所提出。每个拓扑流形都有一个图册。C^k-atlas是一个图册，其转换图是C^k。拓扑流形具有C⁰-atlas，并且通常C^k-流形具有C^k-atlas。连续图册（continuous atlas）是C⁰图册，平滑图册是C^∞图册，分析图册（analytic atlas）是C^ω图册。

伪群

伪群（Pseudogroups）的概念提供了弹性的图册泛化（generalization of atlases），允许以统一的方式在流形上定义成各种不同的结构。伪群由拓扑空间S和由S的开放子集到S的其他开放子集的同态组成的集合Γ组成，使得

1. 如果f ∈ Γ，且U是f的域的开放子集，则限制f|_U也在Γ。
2. 如果f 开放子集合的同胚, ${\displaystyle \cup _{i}\,U_{i}}$ , 到 S的开放子集，则 f ∈ Γ为每个i提供 ${\displaystyle f|_{U_{i}}\in \Gamma }$ 。
3. 对于每个开放的U ⊂ S， U的身份转换在Γ。
4. 如果f ∈ Γ，则f⁻¹ ∈ Γ。
5. Γ的两个元素组成在Γ。

最后三个条件类似于一个群（group）的定义。注意，Γ不必是群，因为这些函数在S上不是全域定义的。

结构层

有时使用替代方法来赋予具有C^k结构的流形是有用的。这里k = 1, 2, ..., ∞, 或ω为实分析流形（real analytic manifolds）。不考虑坐标图，可以从流形本身定义的功能开始。M 的结构层（structure sheaf），表示为C^k，是一种函数 ，它为每个开放集U ⊂ M定义连续函数U → R的代数C^k(U)。

在n维可微分流形 M上的实值函数f在点p ∈ M处被称为可微分 ，如果它在p周围定义的任何坐标图中是可微分的。更准确地说，如果(U, φ)是卡（chart），其中U包含p，是 M的开集，而且φ : U → Rⁿ是定义卡（chart）的映射，则f是可微分的，如果且仅当

${\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}\colon \varphi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }}$ 

在φ(p)处是可微分的。一般会有很多可用的卡（chart）；然而，可微分的定义不取决于p的卡（chart）的选择。从链式法则（chain rule）应用到一个卡（chart）和另一个图之间的转换函数，如果f在p的任何特定卡（chart）中都是可微分的，那么在p的所有卡（chart）中都是可微分的。类似的情况适用于定义C^k函数，平滑函数和分析函数。

切线丛

点的切空间由该点处的可能的方向导数构成，并且具有与流形相同的维数n。对于一组（非奇异）坐标x_k在本地点，坐标导数（coordinate derivatives）${\displaystyle \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$ 确定切线空间的完整基础。

余切丛

向量空间的对偶空间（dual space）是矢量空间上的实值线性函数集合。余切空间处的一点是该点的切线空间的对偶位置，而余切丛（cotangent bundle）是所有余切空间的集合。

黎曼流形

黎曼流形是一个可微分的流形，切空间以微分的方式产生内积。内积结构可以称为黎曼度量（metric）。该度量可以用于互变向量和辅助向量，并定义rank 4黎曼曲率张量。黎曼流形有长度、体积和角度的概念。任何可微流形都可以被称为黎曼结构。

扭对称流形

一个共同的流形是具有封闭性的，非退化的symmetric 2-tensor形式的流形。这种情况迫使相似的流形是均匀的。在汉密尔顿力学中作为相位空间出现的反切丛（Cotangent bundles）是激励的例子，但是许多紧凑型流形也具有扭对称（symplectic）结构。

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