黎曼曲率张量

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

• ${\displaystyle R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,}$ 

映射${\displaystyle R}$ 关于每一个自变量都是${\displaystyle C^{\infty }}$ 线性的, 故${\displaystyle R}$ 是${\displaystyle M}$ 上的${\displaystyle (1,3)}$ 型光滑张量场, 称之为仿射联络空间${\displaystyle (M,\nabla )}$ 的曲率张量. 在坐标向量场下，${\displaystyle R}$  可以表示为

• ${\displaystyle R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.}$ 

还可以定义四重线性映射，如下

• ${\displaystyle R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),}$ 

则映射 ${\displaystyle R}$ 关于每一个自变量都是${\displaystyle C^{\infty }}$  线性的, 故${\displaystyle R}$ 是黎曼流形${\displaystyle (M,g)}$ 上的 ${\displaystyle (0,4)}$  型光滑张量场, 称之为黎曼流形 ${\displaystyle (M,g)}$  的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, ${\displaystyle R}$  可以表示为

• ${\displaystyle R=R_{klij}dx^{k}\otimes dx^{l}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.}$ 

• 注：上述纺射联络空间 ${\displaystyle (M,\nabla )}$ 上的曲率张量 ${\displaystyle R}$ 与黎曼流形 ${\displaystyle (M,g)}$  上的黎曼曲率张量 ${\displaystyle R}$  是同一个对象的不同表现形式.
• 注 ${\displaystyle R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^{m}}$ .

黎曼曲率张量有如下的对称性:

• ${\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}$ 
• ${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}}$ 
• ${\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}$ 

最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$ 个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}}$ 

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:

${\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0}$ 

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

• ${\displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}\,}$ 
• ${\displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}\,}$ 

• 第一（代数）比安基恒等式：${\displaystyle R_{abcd}+R_{adbc}+R_{acdb}=0\,}$ 或等价地写为${\displaystyle R_{a[bcd]}=0\,}$ 

• 第二（微分）比安基恒等式：${\displaystyle \nabla _{e}R_{abcd}+\nabla _{d}R_{abec}+\nabla _{c}R_{abde}=0\,}$ 或等价地写为${\displaystyle R_{ab[cd;e]}=0\,}$ 

其中方括号表示对下标的反对称化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。

• 黎曼流形的曲率
• 截面曲率
• 曲率形式

• （英文）Wolfram MathWorld —— Riemann Tensor（页面存档备份，存于互联网档案馆）、Bianchi identity（页面存档备份，存于互联网档案馆）、Contracted Bianchi identity（页面存档备份，存于互联网档案馆）