截面曲率

在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率 $K(\sigma _{p})$ 依赖于p点的切空间里的一个二维平面 $\sigma _{p}$ 。它就定义为该截面，考虑在 p 点以平面 $\sigma _{p}$ 作为切平面的曲面 ${\textstyle S_{p}}$ ，这曲面是收集流形中某包含 $p$ 的邻域内从 p 点出发的测地线且这测地线在 $p$ 点的切向量属于截面 $\sigma _{p}$ （换句话说就是 ${\textstyle S_{p}=\exp _{p}U}$ 其中 ${\textstyle U\subseteq \sigma _{p}}$ 是 ${\textstyle \sigma _{p}}$ 里包含原点的邻域）_，而截面曲率 $K(\sigma _{p})$ 就是曲面 $S_{p}$ 在 $p$ 点的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。

定义

设 M 为黎曼流形，σ 为 M 上 p 点处切空间中的二维平面，u 和 v 为 σ 中两个线性无关的向量。则关于 σ 的截面曲率定义为

K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle  \over |u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}}

其中 R 是 M 的黎曼曲率张量。

常截面曲率流形

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量，它们有三种情况

负曲率−1，双曲几何
零曲率，欧几里得几何
正曲率+1，椭圆几何

三类几何的模型流形分别是双曲空间，欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

性质

完备黎曼空间有非负的截面曲率，当且仅当函数 $f_{p}(x)=dist^{2}(p,x)$ 对于所有点p是一个1-凹函数。
一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率，当且仅当函数 $f_{p}(x)=dist^{2}(p,x)$ 是1-凸函数。

参看

黎曼曲率张量
黎曼流形的曲率
曲率