向量算子

标量函数

令 ${\displaystyle U}$  为空间位置 ${\displaystyle (x,y,z)}$  的多变数标量函数（英语：Function_of_several_real_variables） ，例如：

${\displaystyle U(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$ 

表示了一个球面，这是一个标量场，其中每点的值等于该球半径的平方。

向量函数

令 ${\displaystyle V}$  为空间位置 ${\displaystyle (x,y,z)}$  的向量函数（英语：Vector-valued_function） ，它可以被拆成三个分量，写成以下的向量形式：

${\displaystyle V(x,y,z)=V_{x}(x,y,z){\hat {i}}+V_{y}(x,y,z){\hat {j}}+V_{z}(x,y,z){\hat {k}}}$ 

标量函数 ${\displaystyle U(x,y,z)}$  在三维笛卡儿坐标系的各个座标轴上有以下变率：

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}}$ 

因为是沿着座标轴的变率，所以可以写成分量形式：

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}},{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}},{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}$ 

其加总即为 ${\displaystyle U}$  的组合变率：

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}$ 

如同微分算子 ${\displaystyle D}$  被用来表示某函数的导数，例如 ${\displaystyle D(f)}$  或 ${\displaystyle Df}$ ，我们使用 ${\displaystyle \nabla }$  来表示组合变率：

${\displaystyle \nabla U={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=V(x,y,z)}$ 

其中 ${\displaystyle V}$  为一向量函数。组合变率 ${\displaystyle \nabla U}$  称为 ${\displaystyle U}$  的导数（derivative），${\displaystyle U}$  则称为 ${\displaystyle \nabla U}$  的本原（primitive）。

${\displaystyle \nabla U}$  本身是一个向量函数。在几何与物理上，它指向变化速率最大的那个方向，在这个意义上，它被称为 ${\displaystyle U}$  的梯度、或斜率。

Nabla算子的单独使用

我们可以把 ${\displaystyle \nabla }$  当作一个函数，念为 ${\displaystyle del}$ ，记为 ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ ，它接受一个标量函数，并传回一个向量函数。其运算式为：

${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}}$ ，因此：

${\displaystyle \nabla U=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)(U)={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=\operatorname {grad} U}$ 

将 ${\displaystyle \nabla }$  当作一个形式上的向量，则可以用向量的内积与叉积导出散度与旋度。

将 ${\displaystyle \nabla }$  当作一个形式向量，与向量函数 ${\displaystyle V}$  做内积：

${\displaystyle \nabla \cdot V=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}=U(x,y,z)}$ 

这里得到一个标量函数 ${\displaystyle U}$ ，称为 ${\displaystyle V}$  的散度。

我们也可以将 ${\displaystyle \nabla \cdot }$  当作一个算子，念为 ${\displaystyle del\ dot}$ ，记为 ${\displaystyle \operatorname {div} }$ ，它接受一个向量函数，但是传回一个标量函数：

${\displaystyle \nabla \cdot V=\operatorname {div} V={\hat {i}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial z}}}$ 

将 ${\displaystyle \nabla }$  当作一个形式向量，与向量函数 ${\displaystyle V}$  做叉积：

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times V&=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\times \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)\\&={\hat {i}}\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {j}}\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {k}}\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$ 

这里得到一个向量函数，称为 ${\displaystyle V}$  的旋度。

我们也可以将 ${\displaystyle \nabla \times }$  当作一个算子，念为 ${\displaystyle del\ cross}$ ，记为 ${\displaystyle \operatorname {curl} }$ ，它接受一个向量函数，并传回一个向量函数：

${\displaystyle \nabla \times V=\operatorname {curl} V={\hat {i}}\times {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\times {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\times {\frac {\partial V}{\partial z}}}$ 

对一个标量函数做梯度运算，可以得到一个向量函数，再对该向量函数做散度运算，又得回一个标量函数，称为梯度的散度：

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ 

这称为拉普拉斯算子，记为 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$  或者 ${\displaystyle \Delta }$ ，它接受一个标量函数，并传回一个标量函数。

• Nabla算符
• 达朗贝尔算符
• Vector Analysis, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158

• H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.