Nabla算子

Del算子或称Nabla算子，在中文中也叫向量微分算子、劈形算子、倒三角算子，符号为${\displaystyle \nabla }$，是一个向量微分算子，但本身并非一个向量^[1]。

其形式化定义为：

${\displaystyle \nabla ={d \over dr}}$

在${\displaystyle n}$维空间中，分母${\displaystyle dr}$为含${\displaystyle n}$个分量的向量，因而${\displaystyle \nabla }$本身就是个${\displaystyle n}$维向量算子。

三维情况下，${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} }$ 或 ${\displaystyle \nabla =({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}})}$

二维情况下，${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} }$ 或 ${\displaystyle \nabla =({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}})}$

${\displaystyle \nabla }$作用于不同类型的量，得到的就是不同类型的新量：

${\displaystyle \nabla }$直接作用于函数${\displaystyle F(r)}$（不论${\displaystyle F}$是标量还是向量），意味着求${\displaystyle F(r)}$的梯度，表示为：${\displaystyle \nabla F(r)}$（标量函数的梯度为向量，向量的梯度为二阶张量）；

${\displaystyle \nabla }$与非标量函数${\displaystyle F(r)}$由点积符号 ${\displaystyle \cdot }$ 连接，意味着求${\displaystyle F(r)}$的散度，表示为：${\displaystyle \nabla \cdot F(r)}$；

${\displaystyle \nabla }$与非标量（三维）函数${\displaystyle F(r)}$由叉积符号${\displaystyle \times }$连接，意味着求${\displaystyle F(r)}$的旋度，表示为：${\displaystyle \nabla \times F(r)}$。