联络

几何之中,联络是一点所对应的空间与另一点所对应的空间之间的转换。这种转换是沿着一曲线(族)的连续地变化,遵循平行性及逻辑上的一致性。在现代几何中,依照不同的空间,可定义出好几种不同的联络。

例如最常见的仿射联络,即是在流形上由一点上切空间,到另一点上切空间,沿着一条曲线的转换。仿射联络可以用来定义协变导数,推广了向量空间中方向导数的概念。

联络是现代几何中一个应用范围广泛的核心概念,因为借由联络,在一个几何实体中,不同两点上的局部几何空间(可理解为邻域),这两者间的元素得以互相比较。

联络使得几何不变量可以表述为能够显现出其本质的形式,像是曲率(详见曲率张量曲率形式)及挠率等,都是由联络所导出的。

动机:坐标系统的局限

 
蓝色向量跟红色向量一开始(在图上的黑色向量)是指向一样的方向,但分别沿着图上不同的曲线作平行移动到同一点后,却会指向不一样的方向。这是因为曲率不为零的关系。

请回忆原始平行移动的概念:当一个转换不会让向量的分量有所改变时,便称此转换为平行移动

设在球面上的北极点有一个切向量,我们将试着借由适当的定义,把那切向量能从球体上一点平行移动到其他点。注意到切向量其实是点上局部座标系的元素,所以在球面上的平行移动能理解为切向量在两个切空间之间的转换。然而,原始平行移动的概念并不能把存在于某个切空间的切向量,转换到不同的切空间中。

为了让平行移动的概念更加清楚,我们考虑一种等价的移动方法:使切向量黏在北极点且整体座标系固定的情况下,旋转球体使得北极点沿着曲线移动(后续将会知道,这是列维-奇维塔联络的移动方式)。如图所示,虽然切向量移动的起点和终点是一样的,但沿着不同的曲线移动的话,它最终指向的方向也会不一样,这现象反映了球体的曲率。(有趣的是,古中国发明的指南车,它的行为就跟在平行移动下的切向量没两样。)

现在我们把原始平行移动的概念推广,使之能用于在不同切空间的转换,称为联络:若有个'转换'将一个切向量A从切空间S,转换成切空间T中的向量B,并使得A于S座标系的每个分量,都分别跟B于T座标系的对应分量相等,则此转换即是联络

藉联络定义导数的方案

当我们使用向量微积分中的方向导数时会发现,方向导数在不同空间的转换下,没办法反映转换前后不变的性质。另外,方向导数是欧几里德空间中向量场沿着一方向的变化,但不是每种空间都能像欧几里德空间这样做。因为在任意座标系中,两个存在于不同切空间的切向量,并不能相加或相减,这使的方向导数的定义不能在上述的球面上使用。为此,我们提出一个可行的方案以取代方向导数。

在空间转换下,张量的表述方法可以反映在空间变换下不变的性质,其中共变导数正好可以用来取代方向导数。共变导数借由一个联络(他的分量形式是克里斯托福符号Γ),让不同但无穷接近的两个切空间中的切向量,可以转换到同一个切空间中,如此一来两向量就可以相加相减,使得此种导数概念可以被定义出来。

一个更广义的方法是使用李群藉以反映空间上的对称性。李群使用的联络是嘉当联络

各领域中联络的定义

以下将提及的是“线性”或“仿射”联络。

除了“仿射”联络之外还有其他的联络,例如射影联络的概念,这概念的其中一个特例是复分析里的施瓦茨导数