微积分基本定理

詹姆斯·格里高利首先发表了该定理基本形式的几何证明^[3][4][5]，艾萨克·巴罗证明了该定理的一般形式^[6] 。巴罗的学生艾萨克·牛顿使微积分的相关理论得以完善。莱布尼茨使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今微积分符号，

微积分基本定理有两部分，第一部分是定积分的微分，第二部分是原函数和定积分之间的关联。

第一部分 / 第一基本定理

设 ${\displaystyle a,b\in \mathbb{R}}${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }  ，${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ 于 ${\displaystyle [a,b]}$  黎曼可积分，定义函数 ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$  如下：

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt}$ 

则

1. ${\displaystyle F}$  于闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$  连续
2. 若 ${\displaystyle f}$  于 ${\displaystyle c\in [a,\,b]}$  连续，则${\displaystyle F'(c)=f(c)}$ 

第二部分 / 第二基本定理

我们将使用中值定理。就是：

设${\displaystyle F}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 连续，在开区间${\displaystyle (a,b)}$ 可导，则开区间${\displaystyle (a,b)}$ 内一定存在${\displaystyle c}$ 使得

${\displaystyle F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}\,.}$ 

可得

${\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,}$ 

函数${\displaystyle F}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 可导，所以在每一个区间${\displaystyle x_{i-1}}$ 也是可导和连续的。因此，根据中值定理，

${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,.}$ 

把上式代入(1)，得

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]\,.}$ 

根据第一部分的结论，我们有${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})}$ 。另外，${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$ 可表示为第${\displaystyle i}$ 个小区间的${\displaystyle \Delta x}$ 。

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.\qquad (2)}$ 

注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，${\displaystyle \Delta x_{i}}$ 并不需要对于任何${\displaystyle i}$ 都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用${\displaystyle n}$ 个矩形来近似代替曲线。现在，当${\displaystyle n}$ 增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出黎曼积分。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以，我们把(2)式的两边取极限，得

${\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.}$ 

${\displaystyle F(b)}$ 和${\displaystyle F(a)}$ 都不依赖于${\displaystyle {\begin{Vmatrix}\Delta \end{Vmatrix}}}$ ，所以左面的极限仍然是${\displaystyle F(b)-F(a)}$ 。

${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.}$ 

右边的表达式定义了${\displaystyle f}$ 从${\displaystyle a}$ 到${\displaystyle b}$ 的积分。这样，我们有

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,}$ 

证明完毕。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{\sin x}e^{t}\,dt\\&={\frac {d}{dx}}F(\sin x)\\&=F'(\sin x)\cos x\\&=e^{\sin x}\cos x\\\end{aligned}}}$ 

计算以下积分：

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.}$ 

在这里，${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ，${\displaystyle F(x)={x^{3} \over 3}}$ 是一个原函数。因此：

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={5^{3} \over 3}-{2^{3} \over 3}=39}$ 

我们不需要假设${\displaystyle f}$ 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明：如果${\displaystyle f}$ 是区间${\displaystyle [a,b]}$ 内的任何一个勒贝格可积的函数，${\displaystyle x_{0}}$ 是${\displaystyle [a,b]}$ 内的一个数，使得${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle x_{0}}$ 连续，则

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ 

在${\displaystyle x=x_{0}}$ 是可导的，且${\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}$ 。我们可以把${\displaystyle f}$ 的条件进一步降低，假设它仅仅是可积的。这种情况下，我们便得出结论：${\displaystyle F}$ 几乎处处可导，且${\displaystyle F'(x)}$ 几乎处处等于${\displaystyle f(x)}$ 。这有时称为勒贝格微分定理。

定理的第一部分对于任何具有原函数${\displaystyle F}$ 的勒贝格可积函数${\displaystyle f}$ 都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。

泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。

对于复数函数，也有一个类似的形式：假设${\displaystyle U}$ 是${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一个开集，${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ 是一个在${\displaystyle U}$ 处具有全纯原函数${\displaystyle F}$ 的函数。那么对于所有曲线${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow U}$ ，曲线积分可以用下式来计算：

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))\,.}$ 

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分，也可以推广到流形。

这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理：设${\displaystyle M}$ 为一个可定向分段光滑${\displaystyle n}$ 维流形，并设${\displaystyle \omega }$ 为${\displaystyle n-1}$ 阶${\displaystyle M}$ 上的C¹类紧支撑微分形式。如果${\displaystyle \vartheta M}$ 表示M${\displaystyle M}$ 的边界，并以${\displaystyle M}$ 的方向诱导的方向为边界的方向，则

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\oint _{\partial M}\omega \,.}$ 

这里${\displaystyle \mathrm {d} \!\,}$ 是外导数，它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。

• 极限
• 微分
• 积分

1. ^ 更加确切地，该定理涉及了可变上限和任意选择的下限的定积分。这类特殊的定积分允许我们计算函数的无穷多个原函数之一（除了那些没有零点的原函数）因此，它几乎跟不定积分是等价的，大部分作者把它定义为产生任何一个可能的原函数的运算，包括没有零点的原函数。
2. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
3. ^ Malet, Antoni. James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions. Archive for History of Exact Sciences (Springer-Verlag). 1993. doi:10.1007/BF00375656. Gregorie's thought, on the other hand, belongs to a conceptual framework strongly geometrical in character. (page 137) 
4. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.
5. ^ Gregory, James. Geometriae Pars Universalis. Museo Galileo: Patavii: typis heredum Pauli Frambotti. 1668. 
6. ^ Child, James Mark; Barrow, Isaac. The Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago: Open Court Publishing Company. 1916. 

• Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
• Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)