微分

定义

设函数${\displaystyle y=f(x)}$ 在某区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 内有定义。对于${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 内一点${\displaystyle x_{0}}$ ，当${\displaystyle x_{0}}$ 变动到附近的${\displaystyle x_{0}+\Delta x}$ （也在此区间内）时，如果函数的增量${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ 可表示为 ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}$ （其中${\displaystyle A}$ 是不依赖于${\displaystyle \Delta x}$ 的常数），而${\displaystyle o(\Delta x)}$ 是比${\displaystyle \Delta x}$ 高阶的无穷小，那么称函数${\displaystyle f(x)}$ 在点${\displaystyle x_{0}}$ 是可微的，且${\displaystyle A\Delta x}$ 称作函数在点${\displaystyle x_{0}}$ 相应于自变量增量${\displaystyle \Delta x}$ 的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}y}$ ，即${\displaystyle {\textrm {d}}y=A\Delta x}$ ，${\displaystyle {\textrm {d}}y}$ 是${\displaystyle \Delta y}$ 的线性主部。^[1]:141

通常把自变量${\displaystyle x}$ 的增量${\displaystyle \Delta x}$ 称为自变量的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}x}$ ，即${\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x}$ 。

和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念^[1]:141。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分${\displaystyle {\textrm {d}}x}$ ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数${\displaystyle y=f(x)}$ 的微分又可记作${\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x}$ ^[2]。

几何意义

设${\displaystyle \Delta x}$ 是曲线${\displaystyle y=f(x)}$ 上的点${\displaystyle P}$ 在横坐标上的增量，${\displaystyle \Delta y}$ 是曲线在点${\displaystyle P}$ 对应${\displaystyle \Delta x}$ 在纵坐标上的增量，${\displaystyle {\textrm {d}}y}$ 是曲线在点${\displaystyle P}$ 的切线对应${\displaystyle \Delta x}$ 在纵坐标上的增量。当${\displaystyle \left|\Delta x\right|}$ 很小时，${\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|}$ 比${\displaystyle \left|\Delta x\right|}$ 要小得多(高阶无穷小)，因此在点${\displaystyle P}$ 附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子

设有函数${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$ ，考虑它从某一点${\displaystyle x}$ 变到${\displaystyle x+{\textrm {d}}x}$ 。这时，函数的改变量${\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)}$ 等于：

${\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}}$ 

${\displaystyle =2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)}$ 

其中的线性主部：${\displaystyle Adx=2xdx}$ ，高阶无穷小是${\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}}$ 。 因此函数${\displaystyle \textstyle f}$ 在点${\displaystyle \textstyle x}$ 处的微分是${\displaystyle {\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x}$ 。函数的微分与自变量的微分之商${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)}$ ，等于函数的导数。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}}$ ，尤其${\displaystyle y=ax^{n}}$ 

${\displaystyle =nax^{(n-1)}}$ 

以下有一例子： 当方程式为${\displaystyle y=2x^{2}}$ 时，就会有以下的微分过程。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}}$ 

${\displaystyle =2\cdot 2x^{(2-1)}}$ 

${\displaystyle =4x}$ 

微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数${\displaystyle u}$ 、${\displaystyle v}$ 可微，那么：

• ${\displaystyle d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv}$ 
• ${\displaystyle d(uv)=udv+vdu}$ 
• ${\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}$ 
• 若函数${\displaystyle y(u)}$ 可导，那么${\displaystyle d[y(u)]=y'(u)du}$ ^[1]:139

极值

当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只对单一自变量微分），但仍然有微分的概念。

定义

设${\displaystyle f}$ 是从欧几里得空间Rⁿ（或者任意一个内积空间）中的一个开集${\displaystyle \Omega }$ 射到R^m的一个函数。对于${\displaystyle \Omega }$ 中的一点${\displaystyle x}$ 及其在${\displaystyle \Omega }$ 中的邻域${\displaystyle \Lambda }$ 中的点${\displaystyle x+h}$ 。如果存在线性映射${\displaystyle A}$ 使得对任意这样的${\displaystyle x+h}$ ,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0}$ 

那么称函数${\displaystyle f}$ 在点${\displaystyle x}$ 处可微。线性映射${\displaystyle A}$ 叫做${\displaystyle f}$ 在点${\displaystyle x}$ 处的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$ 。

如果${\displaystyle f}$ 在点${\displaystyle x}$ 处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点${\displaystyle x}$ 都有微分${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$ 时，可以考虑将${\displaystyle x}$ 映射到${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$ 的函数：

${\displaystyle {\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}}$ 

这个函数一般称为微分函数^[3]。

性质

• 如果${\displaystyle f}$ 是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
• 在Rⁿ（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设${\displaystyle f}$ 是从Rⁿ射到R^m的函数，${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})}$ ，那么：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$ 。

具体来说，对于一个改变量：${\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}}$ ，微分值：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}}$ 

• 可微的必要条件：如果函数${\displaystyle f}$ 在一点${\displaystyle x_{0}}$ 处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$ 都存在，但反之不真^[4]:76。
• 可微的充分条件：如果函数${\displaystyle f}$ 在一点${\displaystyle x_{0}}$ 的雅克比矩阵的每一个元素${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$ 都在${\displaystyle x_{0}}$ 连续，那么函数在这点处可微，但反之不真^[4]:77。

例子

函数${\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)}$ 是一个从${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 射到${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 的函数。它在某一点${\displaystyle (x,y)}$ 的雅可比矩阵为：

${\displaystyle J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}}$ 

微分为：${\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)}$ ，也就是：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}}$ 

如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点${\displaystyle x}$ 给出一个近似描述函数性质的线性映射${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$ ，而微分形式对区域${\displaystyle \mathbf {D} }$ 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：${\displaystyle \omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R} }$ 。在坐标记法下，可以写成：

${\displaystyle \omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}$ 

其中的${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i}}$ 是${\displaystyle i}$ -射影算子，也就是说将一个向量${\displaystyle v}$ 射到它的第${\displaystyle i}$ 个分量${\displaystyle v^{i}}$ 的映射。而${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}$ 是满足：

${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}}$ 

的k-形式。

特别地，当${\displaystyle f}$ 是一个从Rⁿ射到R 的函数时，可以将${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$ 写作：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}}$ 

正是上面公式的一个特例^[5]。

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• 外微分
• 泰勒公式

• 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.