泰勒公式

泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数${\displaystyle e^{x}}$ 在${\displaystyle x=0}$ 的附近可以用以下多项式来近似地表示：

${\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.}$ 

称为指数函数在0处的${\displaystyle n}$ 阶泰勒展开公式。这个公式只对${\displaystyle 0}$ 附近的${\displaystyle x}$ 有用，${\displaystyle x}$ 离${\displaystyle 0}$ 越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。

${\displaystyle R_{n}(x)={\textrm {e}}^{x}-\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$ 

对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+o(h)}$ ，其中${\displaystyle o(h)}$  是比h 高阶的无穷小。

也就是说${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h}$ ，或${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}$ 。

注意到${\displaystyle f(x)}$  和${\displaystyle f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}$  在a 处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a 处的前n 次导数值都与函数在a 处的前n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a 附近的情况。以下定理说明这是正确的：

${\displaystyle R_{n}(x)}$  的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。

带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：

也就是说，当x 无限趋近a 时，余项${\displaystyle R_{n}(x)}$  将会是${\displaystyle (x-a)^{n}}$  的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于${\displaystyle (x-a)^{n}}$ ^[3]。这个结论可以由下面更强的结论推出。

带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：

即${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}}(x-a)^{(n+1)}}$ ，其中${\displaystyle \theta \in (a,x)}$ ^[4]。

带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广^[5]：

${\displaystyle R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt,}$ 

拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间[a − r, a + r] 上n 次连续可微并且在区间(a − r, a + r) 上n + 1 次可导。如果存在正实数M_n 使得区间(a − r, a + r) 里的任意x 都有 ${\displaystyle |f^{(n+1)}(x)|\leq M_{n}}$ ，那么：

其中${\displaystyle |R_{n}(x)|\leq M_{n}{\frac {r^{n+1}}{(n+1)!}}}$ 。这个上界估计对区间(a − r, a + r) 里的任意x 都成立，是一个一致估计。

如果当n 趋向于无穷大时，还有${\displaystyle M_{n}{\frac {r^{n+1}}{(n+1)!}}\rightarrow 0}$ ，那么可以推出 ${\displaystyle R_{n}(x)\rightarrow 0}$ ，f 是区间(a − r, a + r) 上解析函数。f 在区间(a − r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。

对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a, r ) 是欧几里得空间R^N 中的开球，ƒ 是定义在B(a, r ) 的闭包（即闭球）上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这时的泰勒公式为：

对所有${\displaystyle x\in \mathbf {B} (a,r)}$ ，

${\displaystyle f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}(x-a)^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}R_{\alpha }(x)(x-a)^{\alpha }}$ 

其中的 ${\displaystyle \alpha }$  是多重指标，即${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}$  , ${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdot ...\cdot \alpha _{n}!}$  。

若${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$  ,则记 :${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}...x_{n}^{\alpha _{n}}}$ ,${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}f(a)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}...x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$ .

其中的余项也满足不等式：

对所有满足 |α| = n + 1 的 α，${\displaystyle |R_{\alpha }(x)|\leq \sup _{y\in {\bar {B}}}\left|{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(y)}{\partial x^{\alpha }}}\right|}$ 

特别地，多元形式的泰勒公式可表示为：

${\displaystyle f(a+h)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\alpha !}}{\partial x^{\alpha }}h^{\alpha }+R_{m}}$ 

其中${\displaystyle R_{m}=\sum _{|\alpha |=m+1}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha !}}h^{\alpha }}$ .

在应用上述公式时，特别重要的是展开式的前三项，即：

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)h_{1}+...+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)h_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(a)+...}$ .

运用雅可比矩阵与海森矩阵，则上式可表示为：

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+Jf(a)h+{\frac {1}{2}}(h_{1},...h_{n})Hf(a){\begin{pmatrix}h_{1}\\...\\h_{n}\\\end{pmatrix}}+...}$ 

其中${\displaystyle Jf(a)}$  为雅可比矩阵，${\displaystyle Hf(a)}$  为海森矩阵.

• 泰勒级数
• 拉格朗日型余项
• 佩亚诺型余项
• 麦克劳林公式

1. ^ J J O'Connor and E F Robertson. Brook Taylor's Biography. [2009-12-25]. （原始内容存档于2010-11-20）. 
2. ^ Rudin, 第123至124页.
3. ^ 《微积分(Ⅱ)》第88-90页.
4. ^ Klein (1998) 20.3; Apostol (1967) 7.7
5. ^ Protter, Morrey, 第135-136页

• Apostol, Tom. 《微积分学》（Calculus）. Jon Wiley & Sons, Inc. 1967. ISBN 0-471-00005-1. 
• Klein, Morris. 《微积分学：直观物理方法》(Calculus: An Intuitive and Physical Approach). Dover. 1998. ISBN 0-486-40453-6. 
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8. 
• 清华大学数学科学系微积分编写组. 《微积分(Ⅱ)》. 清华大学出版社. 2000. ISBN 7-302-06917-4. 
• Murray H. Protter, Charles Bradfield Morrey. 《中等微积分》(Intermediate calculus). Springer. 1986. ISBN 978-0-387-96058-6.