外微分

一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。

对于一个k-形式ω = Σ_I f_I dx_I在Rⁿ上，其定义如下：

${\displaystyle d{\omega }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{I}.}$ 

对于一般的k-形式 Σ_I f_I dx_I （其中多重指标I取遍所有{1, ..., n}的基数为k的有序子集），我们只作了线性推广。注意如果上面有${\displaystyle i=I}$ 则${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{I}=0}$ 

（参看楔积）。

外微分满足三个重要性质：

• 线性

• 楔积法则（参看反求导）

${\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta )}$ 

• d² = 0，蕴涵了混合偏导数的恒等式的公式，所以总有

${\displaystyle d(d\omega )=0\,\!}$ 

可以证明外微分由这些性质和其与 0-形式（函数）上的微分的一致性唯一决定。

d 的核由闭形式组成，而其像由恰当形式组成 （参看恰当微分）。

给定一个k-形式ω和任意光滑向量场V₀,V₁, …, V_k我们有

${\displaystyle d\omega (V_{0},V_{1},...V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}\omega (V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,V_{k})}$ 

${\displaystyle +\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,{\hat {V}}_{j},...,V_{k})}$ 

其中${\displaystyle [V_{i},V_{j}]}$ 表示李括号，而帽子记号表示省略该元素: ${\displaystyle \omega (V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,V_{k})=\omega (V_{0},...,V_{i-1},V_{i+1}...,V_{k}).}$ 

特别的有，对于1-形式，我们有：

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).}$ 

更一般的，李导数由李括号定义：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$ ,

而一般微分形式的李导数和外微分密切相关。区别主要是记号上的；各种两者之间的恒等式可以在李导数条目找到。

下面的对应关系揭示了向量微积分的诸多公式实际上只是上述外微分的三个法则的特殊情况而已。

梯度

对于一个0-形式，也就是一个光滑函数f: Rⁿ→R，我们有

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}.}$ 

所以，对于向量场${\displaystyle V}$ 

${\displaystyle df(V)=\langle {\mbox{grad }}f,V\rangle ,}$ 

其中grad f代表f的梯度而<•, •>是标量积。

旋度

对于一个1-形式${\displaystyle \omega =\sum _{i}f_{i}\,dx_{i}}$ 在R³上，

${\displaystyle d\omega =\sum _{i,j}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\wedge dx_{i},}$ 

它限制到三维情况${\displaystyle \omega =u\,dx+v\,dy+w\,dz}$ 就是

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)dx\wedge dy+\left({\frac {\partial w}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)dz\wedge dx.}$ 

因此，对于向量场${\displaystyle U}$ , ${\displaystyle V=[u,v,w]}$ 和${\displaystyle W}$ 我们有 ${\displaystyle d\omega (U,W)=\langle {\mbox{curl}}\,V\times U,W\rangle }$  其中curl V代表V的旋度 ×是向量积，而<•, •>是标量积。

散度

对于一个2-形式${\displaystyle \omega =\sum _{i,j}h_{i,j}\,dx_{i}\wedge dx_{j},}$ 

${\displaystyle d\omega =\sum _{i,j,k}{\frac {\partial h_{i,j}}{\partial x_{k}}}dx_{k}\wedge dx_{i}\wedge dx_{j}.}$ 

对于三维，若${\displaystyle \omega =p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy}$ 我们得到

${\displaystyle d\omega \,}$	${\displaystyle =\left({\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz}$
	${\displaystyle ={\mbox{div}}V\,dx\wedge dy\wedge dz,}$

其中V是一个向量场定义为${\displaystyle V=[p,q,r].}$ 

对于1-形式${\displaystyle \sigma =u\,dx+v\,dy}$  on R²我们有

${\displaystyle d\sigma =\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)dx\wedge dy}$ 

这刚好就是在格林定理中被积分的2-形式。

向量微积分的恒等式：

${\displaystyle \nabla \times (\nabla f)=0}$ 

与

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}$ 

皆是外微分第三性质——${\displaystyle d^{2}=0\,}$  的特例。

• 外共变导数
• 格林定理
• 斯托克斯定理