微分学

假设${\displaystyle x}$ 和y是实数，而且y是x的函数，也就是说，针对每一个x，都有一个对应的y。两者的关系可以表示为y = f(x)。若f(x)是直线的方程式（称为一次方程），则会存在两个实数m和b使得y = mx + b。在这个“斜率－截距式”中，m是斜率，可以用下式来求得：

${\displaystyle m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}$ 

其中符号Δ（是希腊大写字母Δ）表示“变化”。以下的式子会成立：Δy = m Δx.

一般的函数不是直线，因此没有斜率。在几何上来看，函数f在x = a的导数就是函数f在a点切线的斜率（如图）。常会表示为f ′(a) 或dy/dx|_{x = a}。因为导数是f在a点线性近似的斜率，因此导数（以及函数f在a点的值）是函数f在a点附近最佳的线性化近似。

若在函数f定义域中的每一点a都有导数，则存在一函数可以将每一点a对应到函数f在a点的导数。例如，若函数f(x) = x²，则其导数函数f ′(x) = dy/dx = 2x。

另一个有关的表示法是函数的微分。若x和y是实数变数，函数f在x点的导数为函数f在x点切线的斜率。因为f的引数及输出都是标量，因此f的导数也是实数。若x和y是向量，则f图形的最佳线性近似会和函数f在不同方向的变化有关。找到在单一方向的最佳近似，也就决定了偏微分，一般会表示为∂y/∂x。若找到了函数f在所有方向的线性化近似，则称为全微分。

若以切线来看，微分的概念很早以前就出现了，像希腊几何学家欧几里得（约300 BC）、阿基米德（约287–212 BC）及阿波罗尼奥斯（约262–190 BC）^[2]。阿基米德也引进了无穷小量的使用，不过最早是用在面积及体积上的研究，而不是在导数及切线上，参考阿基米德使用的无穷小量（英语：Archimedes' use of infinitesimals）。

在印度数学家（英语：Indian mathematics）的研究中有看到用无穷小量来探讨量的变化，最早也许可以推到公元500年，当时天文学家及数学家阿耶波多用无穷小量来研究月球轨道^[3]。在印度数学家婆什迦罗第二（1114–1185）时，用无穷小量来计算量变化的研究有显著的进展，也有人提到^[4]在他的著作中已提到许多微分学的重要概念，例如罗尔定理^[5]。

伊斯兰数学家纳色阿尔图斯（英语：Sharaf al-Dīn al-Tūsī）（1135年–1213年）在其著作《Treatise on Equations》中说明了部分三次方程有解的条件，是透过找适当三次多项式的最大值来求得。他证明了三次多项式 a x² — x³的最大值出现在x = 2a/3，并且得到结论：方程式 a x² — x³ = c在c = 4 a³/27时恰有一正值的解，若0 < c < 4 a³/27会有二个正值的解^[6]。科学历史学家Roshdi Rashed（英语：Roshdi Rashed）^[7]认为阿尔图斯一定是用到了三次多项式的导数才得到此一结果。不过也有其他学者质疑Rashed的想法，他们认为Rashed也可能用了其他不用导数概念的作法^[6]。

普遍认为近代微积分的发展是因为艾萨克·牛顿（1643年–1727年）及戈特弗里德·莱布尼茨（1646年–1716年）同时但独立个别的研究^[8]，并且整合了有关微分及导数的作法。不过其中关键的概念（也是后来认定微积分是由他们两人创始的原因）是结合微分以及积分的微积分基本定理^[9]，这也让以往计算面积及体积，自从海什木（Alhazen）以来没有大幅进步的的方式变的过时^[10]。有关牛顿和莱布尼茨在微分上的想法，都是以早期数学家的贡献为基础，例如皮埃尔·德·费马（1607年-1665年）、伊萨克·巴罗（1630年–1677年）、勒内·笛卡尔（1596年–1650年）、克里斯蒂安·惠更斯（1629年–1695年）、布莱兹·帕斯卡（1623年–1662年）及约翰·沃利斯 (1616年–1703年）。有关费马的影响，牛顿曾在一封信中提到：“我从费马画切线的方式得到有关（通量）方法的暗示，将其用在抽象的方程……，我扩展了这个概念（directly and invertedly, I made it general.）^[11]。一般会将导数早期的发展归功于伊萨克·巴罗^[12]，不过牛顿和莱布尼茨仍在微分学的历史上有重要的贡献，其中也包括了牛顿将微分用在理论物理学中，而莱布尼茨发展的符号到现今仍在普遍使用。

自从17世纪起，许多数学家都对微分学有所贡献。在19世纪时，在奥古斯丁·路易·柯西（1789年–1857年）、波恩哈德·黎曼（1826年–1866年）及卡尔·魏尔斯特拉斯（1815年–1897年）等数学家的贡献下，微分学已更加的严谨。微分学也在此一时期扩展到欧几里得空间及复平面。

最佳化

若f是在ℝ（或是其他开区间）内的可微函数，而x是f有局部最小值或是局部最大值的位置，则f在x处的导数为零。满足f'(x) = 0的点称为临界点或是驻点（则f在x处的值称为临界值（英语：critical value））。若f没有处处可微的特性，则f不可微的点也称为临界点。

若f是二次可微，则f的临界点x可以用f在x的二次导数来分析：

• 若二次导数为正，则x是局部最小值
• 若二次导数为负，则x是局部最大值
• 若二次导数为零，则x可能是局部最小值、是局部最大值，也可能都不是（例如，f(x) = x³在x = 0处为临界点，但不是局部最小值也不是局部最大值，而 f(x) = ± x⁴在x = 0处为临界点，分别是局部最小值及局部最大值）

上述作法称为二次导数测试（英语：second derivative test）。一次导数测试（英语：first derivative test）是另一种分析方式，考虑f'在临界点前后的符号变化。

取导数，并且求解临界点是要找局部最小值或最大值的最简单作法，常应用在最优化中。根据极值定理，连续函数在闭区间内至少会有一次局部最小值及局部最大值。若函数可微，其局部最小值及局部最大值只会出现在临界点或是端点上。

取局部最小值及局部最大值也可以在函数图形的绘制上：只要找到可微分函数的局部最小值、局部最大值以及位，可以根据观察函数在各临界点之间的趋势来绘制简图。

在高维度的空间中，标量函数的临界点是其梯度为0的点。仍然可以用二次导数测试来分析临界点，作法是考虑函数在临界点上二阶导数形成海森矩阵的特征值。若所有特征值都为正，此点为局部最小值；若所有特征值都为负，此点为局部最大值；若部分为正，部分为负，表示临界点为鞍点；不过若有部分特征值为零，则无法以此方式判断。

变分法

最佳化问题的一个例子是：找到在一曲面上，通过曲面上二点的最短路径。若是在平面上，其最短路径是直线。不过若曲面是较复杂的形状（例如蛋形），最短路问题的解就不是那么直观了，此路径称为测地线，而这也是最佳化问题中最简单的问题之一。另一个例子是：找到可以填充空间中封闭曲线的最小面积曲面，此曲面称为极小曲面，也可以透过变分法求得。

物理

微分在物理学上格外重要：许多物理的现象都是用有关微分的方程式来描述，这类方程称为微分方程。物理学格外关注物理量随时间的变化，而时间导数是物理量随时间的变化率，是许多重要概念精准定义的基础。尤其在牛顿力学中，很重视一物体位置的时间导数：

• 速度是一物体位移（相对于时间）的微分。
• 加速度是一物体速度（相对于时间）的微分，也就是位移（相对于时间）的二阶微分。

例如：若物体在一直线上的位置可以用下式表示

${\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}$ 

则其速度为

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}$ 

而加速度为

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}$ 

此时加速度已为定值。

微分方程

微分方程是指一函数和其微分之间的关系。常微分方程会描述单变数函数和其微分之间的关系。而偏微分方程则是多变数函数和其偏微分之间的关系。在自然科学、数学建模，甚至是数学领域中都常常会出现微分方程。例如，牛顿第二定律描述力和加速度的关系，可以表示为以下的常微分方程

${\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$ 

一维空间下的热传导方程式描述热在一杆状物上如何传递，其偏微分方程如下

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$ 

此处u(x,t)为杆状物时间t时，在位置x的温度，而α为一常数，和热在杆状物上传递的速度成正比。

均值定理

均值定理提供了函数的导数和其原始值之间的关系。若f(x)是实值函数，而a 和b是实数，且a < b，则根据均值定理（配合少许的假设），两点(a, f(a))和(b, f(b))之间的斜率会等于在a和b中间某一点c的切线斜率。换句话说

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$ 

实际上，均值定理是以其导数的方式来控制一个函数。例如，假设f有导数，在每一点均为0，这表示其每一点的切线都是水平线，因此其函数应该也就是水平线。均值定理证明这是对的：f图上二点之间的斜率必须等于f中的某一条切线。而所有的切线斜率都是0，因此从函数上任二点之的直线斜率也是0。这表示函数不会上升也不会下降，因此是水平线。若是导数的条件比较复杂，所产生的原函数资讯会比较不准确，但仍然有用。

泰勒多项式及泰勒级数

一函数的某一点的微分是对该点附近最佳的线性近似，不过这和实际的函数可能有很大的差异。改善近似的一个方式就是进行二次近似。也就是说，实值函数f(x)在x₀点的线性化是线性多项式a + b(x − x₀)，若考虑一个二次多项式a + b(x − x₀) + c(x − x₀)²，可能会有更好的近似结果。若二次多项式改为三次多项式a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² + d(x − x₀)³，近似效果会更好一些，此概念可以扩展到任意多次的高次多项式。针对一个多项式，都应该会有一个最佳的系数a、b、c、d……的组合，让近似的效果最好。

在x₀的邻域，对a来说，最理想的数值一定是f(x₀)，对b来说，最理想的数值一定是f'(x₀)，对For c、d及更高阶的系数来说，其系数最理想的数值是由f更高阶的导数决定。c最理想的数值一定是f''(x₀)/2，and d最理想的数值一定是f'''(x₀)/3!。利用这些系数，可以得到f的泰勒多项式。d次的泰勒多项式是对f可以有最佳近似的d次多项式，其系数可以用上述公式推广而得。泰勒公式提供近似程度的精确范围。若函数f是次数小于等于d的多项式。则此函数的d次泰勒多项式即为函数f。

泰勒多项式的极限是无穷级数，称为泰勒级数。多半来说泰勒级数是原函数非常理想的近似。一函数若都各点等于其泰勒级数，称为解析函数。若函数有不连续点或是斜率不连续的尖角，此函数不会是解析函数，不过相反的，存在一些函数是光滑函数（无穷阶可导的函数），却不是解析函数（非解析的光滑函数（英语：Non-analytic_smooth_function））。

隐函数定理

有些几何图形（例如圆）无法用函数图形来表示。例如若f(x, y) = x² + y² − 1，其圆即为所有使f(x, y) = 0的点 (x, y)的集合。这个集合称为f的零集。这和f本身的图形（抛物面）不同。隐函数定理可以将f(x, y) = 0之类的关系转换为函数。其中提到，若f是连续可微函数，f的零集中大部分都可以表示为函数图形“粘贴”的组合。零集上的个点是否满足上述条件，可以用一个和f微分有关的方式来确认。例如圆可以表示成二个函数图形±${\displaystyle {\sqrt {{1}-{{x}^{2}}}}}$ “粘贴”后的结果。圆上除了(−1, 0)和(1, 0)二点之外，在其余每一个点的邻域上，上述二个函数中都有一个的图形和圆的图形类似。（上述二个函数其实刚好也通过(−1, 0)和(1, 0)，不过这不是隐函数定理中提到的内容）

隐函数定理和反函数定理有密切的关系。反函数定理提到一函数在一点的开区域内具有反函数的充分条件。

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• J. Edwards. Differential Calculus. London: MacMillan and Co. 1892 [2018-07-18]. （原始内容存档于2019-05-21）.