隐函数定理

有函数 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ，那么方程式 ${\displaystyle f(x,y)-1=0}$  的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整体上是无法表示成单变数函数 ${\displaystyle y=h(x)}$  的形式的，因为每个${\displaystyle x\in (-1,1),}$ 都有两个${\displaystyle y}$ 的值与之对应，即${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$ 。

然而在某些点附近，局部地用 ${\displaystyle x}$  来表示 ${\displaystyle y}$  是可能的。比如给定圆上一点 ${\displaystyle (x,y)}$ ，如果 ${\displaystyle y>0}$ ，也就是说如果只选取圆的上半部分的话，在这一点附近 ${\displaystyle y}$  可以写成关于 ${\displaystyle x}$  的函数：${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$ 。如果 ${\displaystyle y<0}$ ，在圆的下半部分 ${\displaystyle y}$  也可以写成关于 ${\displaystyle x}$  的函数：${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$ 。

但是，在点 ${\displaystyle (\pm 1,0)}$  的附近，${\displaystyle y}$  无法写成关于 ${\displaystyle x}$  的函数，因为这些点的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是说对于附近的每一个 ${\displaystyle x}$ ，都有两个 ${\displaystyle y}$  的值与之对应，这种情况下 ${\displaystyle y}$  无法写成 ${\displaystyle x}$  的函数。

设 f : R^n+m → R^m 为一个连续可微函数。这里R^n+m 被看作是两个空间的直积： Rⁿ×R^m，于是 R^n+m 中的一个元素写成 (x,y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m) 的形式。 我们的目标是找到一个函数 h: Rⁿ → R^m ，让这函数的图形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等于集合{ (x, y) | f(x,y) = 0}，当然这目标不见得一定可以达成，接下来我们会看需要哪些条件来保证函数 h 的局部存在。

固定一点(a,b) = (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) 使得 f(a, b) = 0，我们希望在点 (a,b) 的附近找到一个 y 关于 x 的函数 h，严格来说，就是说存在 a 的邻域 U ⊆ Rⁿ 和 b 的邻域 V ⊆ R^m 以及函数：h : U → V，使得 h 的函数的图形 (x, h(x)) 刚好等于 U × V 中 f(x,y) = 0 的集合，也就是说：

${\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}}$ 。

要保证这样的函数 h 存在，函数 f 的雅可比矩阵要满足某些性质。对于给定的一点 (a,b)，f 的雅可比矩阵写作：

${\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}$ 

其中的矩阵 ${\displaystyle X}$  是函数 f 关于变数 x 的偏微分，而矩阵 ${\displaystyle Y}$  是 f 关于变数 y 的偏微分。隐函数定理说明了：如果${\displaystyle Y}$ 是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的邻域 U、V 和函数 h(x) 就会存在。正式的叙述就是：

设${\displaystyle E_{1}}$ 、${\displaystyle E_{2}}$ 和${\displaystyle F}$ 是三个巴拿赫空间，而${\displaystyle U}$ 、${\displaystyle V}$ 分别是${\displaystyle E_{1}}$ 、${\displaystyle E_{2}}$ 上的两个开集。设函数：

${\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}$ 

是一个${\displaystyle k~(k\geq 1)}$ 阶可微函数（见Fréchet导数（英语：Fréchet derivative）），并且对于${\displaystyle E_{1}\times E_{2}}$ 中的一点${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ，满足：

• ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$ 
• 映射 ${\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)}$  是一个从${\displaystyle E_{2}}$ 到${\displaystyle F}$ 的同构

那么有如下结论：

存在${\displaystyle x_{0}}$ 的邻域 ${\displaystyle U_{0}\subset U}$  、 ${\displaystyle y_{0}}$ 的邻域 ${\displaystyle V_{0}\subset V}$  ，以及 ${\displaystyle k}$  阶Fréchet可微函数${\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}$ ，使得：

对任意${\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}$ ，只要${\displaystyle f(x,y)=0}$ ，就有${\displaystyle y=\varphi (x)}$ 。

• 反函数定理
• 不动点定理
• 压缩映射定理
• 微分

• （英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University. [2009-11-05]. （原始内容 (PDF)存档于2021-05-07）. 
• Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984. 

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