不动点定理

在巴拿赫不动点定理中给出了一般准则：如果满足该准则，保证迭代函数程序可以产生一个固定点。

布劳尔不动点定理的结果说：任何封闭单位球的连续函数在n维欧几里德空间本身必须有一个不动点，但它并没有说明如何找到不动点（见：斯苯纳引理（英语：Sperner's lemma））。

例如，余弦函数在[−1, 1]区间连续且映射到[−1, 1]区间上，须一个不动点。描绘余弦函数图时这是清楚的；该不动点发生在余弦曲线 ${\displaystyle y=\cos(x)}$  与直线 ${\displaystyle y=x}$  交点上。在数值上，不动点是${\displaystyle x=0.73908513321516}$ 。

代数拓扑的莱夫谢茨不动点定理（英语：Lefschetz fixed-point theorem）（和尼尔森不动点定理（英语：Nielsen fixed-point theorem））值得注意，它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法。存在对博拉奇空间的概括和一般化，适用于偏微分方程理论。见：无限维空间的不动点定理。

分形压缩的拼贴定理（英语：collage theorem）证明，对许多图像存在一个相对较小函数的描述，当迭代适用于任何起始分形可迅速收敛在理想分形上。

克纳斯特－塔斯基定理某种程度上从分析移除，而且不涉及连续函数。它指出在完全格上的任何次序保持函数都有一个不动点，甚至是一个最小不动点。见布尔巴基－维特定理（英语：Bourbaki–Witt theorem）。

λ演算的共同主题是找到给出λ表达式的不动点。每个λ表达式都有一个不动点，不动点组合子是一个“函数”，即输入一个λ表达式并输出该表达式的一个不动点。一个重要的不动点组合是Y组合子，它使用递归定义。

在程序语言的指称语义，一个克纳斯特－塔斯基定理的特例用于建立递归定义的语义。不动点定理虽然适用于“相同”函数（从逻辑的角度来看），但其理论发展完全不同。

递归函数的相同定义可用克莱尼递归定理（英语：Kleene's recursion theorem）在可计算性理论中给出。这些结果并不是等价的定理，克拉斯特尔－塔斯基定理是个比那用于指称语义的更强的结果。^[1]然而，它却与丘奇－图灵论题的直观含义相同：一个递归函数可描述为特定泛函的最小不动点，将函数映射至函数。

迭代函数找不动点的技术还可用在集理论；正常函数的定点引理（英语：fixed-point lemma for normal functions）指出任何严格递增的函数从序到序有一个（甚至有许多）不动点。

在偏序集上的每个闭包算子都有许多不动点；存在关于闭包算子的“封闭要素”，它们是闭包算子首先被定义的主要理由。

• 阿蒂亚－鲍特不动点定理（英语：Atiyah–Bott fixed-point theorem）
• 巴拿赫不动点定理
• 波莱尔不动点定理（英语：Borel fixed-point theorem）
• 布劳尔不动点定理
• 卡若斯梯不动点定理（英语：Caristi fixed-point theorem）
• 对角线引理
• 不动点性质（英语：Fixed-point property）
• 射度量空间
• 角谷不动点定理
• 克莱尼不动点定理
• 拓扑度理论（英语：Topological degree theory）
• 吉洪诺夫不动点定理（英语：Tychonoff fixed-point theorem）
• 伍兹霍尔不动点定理（英语：Woods Hole fixed-point theorem）