对角线引理

记自然数系为${\displaystyle \mathbb {N} }$ 。${\displaystyle T}$ 是一套带有皮亚诺公理的一阶逻辑理论。一个可计算函数${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ^{[注 1]}可以在${\displaystyle T}$ 表达，若于${\displaystyle T}$ 中有合式公式${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}(x,y)}$ 使得：

${\displaystyle \vdash _{T}\,(\forall y)[(^{\circ }f(n)=y)\Leftrightarrow {\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }n,\,y)]}$ ^[2]

此处的 ${\displaystyle ^{\circ }n}$  是指对应于自然数 ${\displaystyle n}$  的数码，也就是皮亚诺公理里预先假定的第一数码 ${\displaystyle 0_{T}}$  的第${\displaystyle n}$ 个后继

${\displaystyle {\begin{cases}^{\circ }1:=S(0_{T})\\^{\circ }(n+1):=S(^{\circ }n)\\\end{cases}}}$ 

换句话说数码是自然数的一种推广，会依据第一数码（常数符号）和后继（函数符号）的语意解释不同而有不同的实质意义。

对角线引理需要将${\displaystyle T}$ 内的每条合式公式${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  ，以有限运算步骤可以实现的方法，一对一的对应到一个自然数${\displaystyle \#({\mathcal {A}})}$ （简写为 ${\displaystyle \#_{\mathcal {A}}}$ ），这样的${\displaystyle \#_{\mathcal {A}}}$ 就被称为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的哥德尔数（注意哥德尔数的指定方法不唯一）。如此一来，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 也可以用数码${\displaystyle ^{\circ }\#_{\mathcal {A}}}$ 来表示。

若${\displaystyle T}$  为一套带有皮亚诺公理的一阶逻辑理论，且所有可计算函数于${\displaystyle T}$ 能够表达；而 ${\displaystyle T}$  内的合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(y)}$  中的变数 ${\displaystyle y}$  是完全自由的。则有一条合式公式${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 使得

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {C}}\Leftrightarrow {\mathcal {F}}({}^{\circ }\#_{\mathcal {C}})}$ ^[3]

以下使用元语言叙述证明过程。读者可以自己转成以一阶逻辑语言表达的正式证明。

对于 ${\displaystyle T}$  中有一完全自由变数 ${\displaystyle x}$  的合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(x)}$ ，我们定义函数${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$  为：

${\displaystyle f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=\#[{\mathcal {A}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})]}$ 

其他状况下取 ${\displaystyle f(n)=0}$  。显然函数 ${\displaystyle f}$  是可计算的，故根据假设，存在合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}(x,\,y)}$ 使得

${\displaystyle \vdash _{T}\,(\forall y)\{{\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)},\,y)\Leftrightarrow [y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}}$  ${\displaystyle (1)}$ 

然后对具有自由变数 ${\displaystyle y}$  的合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(y)}$ ，定义 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$  为：

${\displaystyle {\mathcal {B}}(x):=(\forall y)[{\mathcal {A}}_{f}(x,\,y)\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)]}$ 

注意到一阶逻辑的公理模式（参见量词公理）

${\displaystyle (\forall y){\mathcal {D}}(y)\Rightarrow {\mathcal {D}}(S)}$  ${\displaystyle (A4)}$ 

${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)}$  是简记 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(y)}$  内所有自由的 ${\displaystyle y}$  被取代成项 ${\displaystyle S}$  所得到的新合式公式（而并非代表 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(y)}$  只有一个组成变数）；而(A4)要成立，必须额外要求：若${\displaystyle s_{i}}$  是组成 ${\displaystyle S}$  的其中一个变数，则 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(y)}$  内自由的 ${\displaystyle y}$  都不被 ${\displaystyle s_{i}}$  的量词约束。（简称为项 ${\displaystyle S}$  对变数 ${\displaystyle y}$  于合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(y)}$  是自由的）

(A4)配合(1)使用MP律有

${\displaystyle \vdash _{T}\,[{\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)},\,y)]\Leftrightarrow [y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]}$ 

所以从 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$  的定义有

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Leftrightarrow (\forall y)\{[y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}}$  ${\displaystyle (2)}$ 

注意到从演绎定理会有

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow ({\mathcal {D}}_{2}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}),\,{\mathcal {D}}_{2}\vdash _{T}\,{\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}}$  ${\displaystyle (D)}$ 

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{2},\,{\mathcal {D}}_{2}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}\vdash _{T}\,{\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}}$  ${\displaystyle (D^{\prime })}$ 

对定理(2)双箭头的后半部与公理模式(A4)使用MP律，然后套用(D')会有

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Rightarrow \{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}}$  ${\displaystyle (3)}$ 

而从等号的性质（奠基于皮亚诺公理），对所有的项 ${\displaystyle S}$  有

${\displaystyle \vdash _{T}S=S}$ 

故(3)配合(D)会有

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Rightarrow {\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]}$  ${\displaystyle (R-right)}$ 

然后对等式和它的公理（同样奠基于皮亚诺公理）施用两次普遍化，然后与(A4)施用MP律两次会有：

若项${\displaystyle S}$  和 ${\displaystyle U}$  都对变数 ${\displaystyle y}$  于${\displaystyle {\mathcal {F}}(y)}$ 自由，则

${\displaystyle \vdash _{T}\,(S=U)\Rightarrow [{\mathcal {F}}(S)\Rightarrow {\mathcal {F}}(U)]}$  ${\displaystyle (E)}$ 

所以从(D)和演绎定理有

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow \{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=y]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}}$  ${\displaystyle (4)}$ 

然后注意到另条量词的公理模式（若 ${\displaystyle y}$  于合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  中完全不自由或不曾出现）

${\displaystyle (\forall y)({\mathcal {D}}\Rightarrow {\mathcal {E}})\Rightarrow [{\mathcal {D}}\Rightarrow (\forall y){\mathcal {E}}]}$  ${\displaystyle (A5)}$ 

然后以普遍化于定理(4)外面补上 ${\displaystyle \forall y}$ ，接着与(A5)一起套用MP律会有

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow (\forall y)\{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=y]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}}$ 

所以上面的定理和定理(2)配合(D')有

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})}$  ${\displaystyle (R-left)}$ 

总结(R-right)和(R-left)，然后带入函数 ${\displaystyle f}$  的值有

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Leftrightarrow {\mathcal {F}}\{^{\circ }\#[{\mathcal {A}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}}$  ${\displaystyle (5)}$ 

注意 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$  内变数 ${\displaystyle x}$  是完全自由的，故可以把前面推导中所有的 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  换成 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  ，然后定义

${\displaystyle {\mathcal {C}}:={\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {B}}(x)})}$ 

那我们可以从定理(5)得到

${\displaystyle \vdash _{T}\,{\mathcal {C}}\Leftrightarrow {\mathcal {F}}(^{\circ }\#_{\mathcal {C}})}$ 

至此引理完成证明。${\displaystyle \Box }$ 

对角线引理跟可计算性理论中的Kleene's recursion theorem有密切的联系，证明方法也相似。

这个定理之所以被冠以“对角线”，是因为它与康托尔的对角论证法的形式很相近。“对角线引理”或“不动点”的词汇并未出现在哥德尔1931年所发表的划时代的论文中，也没有出现在塔斯基1936年的论文中。卡尔纳普是第一个人证明出：只要理论T满足某些条件，那么对于T中的任何式子ψ，都存在式子φ使得φ ↔ ψ(#(φ))在T中是可证的。由于在1934年尚未有可计算函数的概念，卡尔纳普是以别的用词去陈述该结论。Elliott Mendelson 认为是卡尔纳普首先指出哥德尔的论证中隐含地运用了对角线引理，而哥德尔则是在1937年注意到卡尔纳普的工作。^[4]