普遍化

• （A4） ${\displaystyle T}$  是一个项， ${\displaystyle t}$  为 ${\displaystyle T}$  中出现的任意变数；若 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  里，所有 ${\displaystyle \forall t}$  的的范围里都没有自由的 ${\displaystyle x}$  （这个情况称为 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  里项 ${\displaystyle T}$  对 ${\displaystyle x}$  是自由的），则

${\displaystyle [(\forall x){\mathcal {B}}(x)]\Rightarrow [{\mathcal {B}}(T)]}$ 

为公理

其中 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(T)}$  代表把 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  里自由的 ${\displaystyle x}$  都取代为 ${\displaystyle T}$  所得到的新公式。

• （A5）如果 ${\displaystyle x}$  在 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  里完全被约束则

${\displaystyle [(\forall x)({\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}})]\Rightarrow [{\mathcal {B}}\Rightarrow (\forall x{\mathcal {C}})]}$ 

为公理

• （A6） ${\displaystyle [(\forall x)({\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}})]\Rightarrow [(\forall x{\mathcal {B}})\Rightarrow (\forall x{\mathcal {C}})]}$  为公理
• （A7） 若 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  是公理， ${\displaystyle x}$  是任意变数则

${\displaystyle (\forall x){\mathcal {B}}}$ 

也是公理。

在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}}$  里变数 ${\displaystyle x}$  都完全被约束，若

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash {\mathcal {B}}}$ 

则有

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash (\forall x){\mathcal {B}}}$