普遍化

普遍化(generalization)是数理逻辑里一条极为常用的规则,直观来说,这条规则在满足一条件下,可以将原合式公式推广成被全称量化的版本。

视为元定理

谓词演算里,若承认以下的量词公理模式:(以下的   为任意变数,    为任意合式公式

  • (A4)   是一个项,    中出现的任意变数;若   里,所有   的的范围里都没有自由的   (这个情况称为   里项    是自由的),则
 
为公理
其中   代表把   里自由的   都取代为   所得到的新公式。
  • (A5)如果    里完全被约束则
 
为公理
  • (A6)   为公理
  • (A7) 若   是公理,   是任意变数则
 
也是公理。

可以得到以下的元定理

  里变数   都完全被约束,若

 

则有

 

这个元定理就是一般所称的普遍化

视为推理规则

普遍化可以视为谓词演算的一条推理规则,也就是说:( 以下的   为任意变数,  为任意合式公式

 可以推出  

也可以用相继式表记为

 

但这个推理规则会严苛地限制演绎定理的适用范围,如

 

不成立,因为无法确定变数   有没有完全被约束(参见上面元定理一节)。这就破坏了元语言的"十字旋转门"“ ”跟逻辑语言的“ ”间的联系。也就是说,直观上“ 以合式公式 为前提,根据推理规则和公理可以推出合式公式 ”跟“根据推理规则和公理可以推出合式公式 ”是等价的,但将普遍化视为推理规则就不免打破这个直观联系。

证明的例子

以下的证明是基于将普遍化视为推理规则

 

证明:

编号 公式 理由
1   假设
2   假设
3   公理 PRED-1
4   从 (1) 和 (3) 通过肯定前件
5   公理 PRED-1
6   从 (2) 和 (5) 通过肯定前件
7   从 (6) 和 (4) 通过肯定前件
8   从 (7) 通过普遍化
9   总结 (1) 到 (8)
10   从 (9) 通过演绎定理
11   从 (10) 通过演绎定理

步骤(10)中,因为   完全被约束,所以可以套用演绎定里,步骤(11)也是基于类似的理由。