形式系统

在逻辑与数学中，一个形式系统（英语：Formal system）是由两个部分组成的，一个形式语言加上一个推理规则或转换规则的集合。大卫·希尔伯特在1921年推动以形式系统来描述数学知识[1] 。 一个形式系统也许是纯粹抽象地制定出来，只是为了研究其自身。另一方面，也可能是为了描述真实现象或客观现实的领域而设计的。命题逻辑是最简单的形式系统。

理论

在数学领域里，形式证明是形式系统的产物，由一些公理与演绎规则组成。定理便是形式证明可能的最后一行结论。这几个步骤总和起来便是数学界通称的形式主义。大卫·希尔伯特创立元数学以作为讨论形式系统的学科。任何用于讨论形式系统的语言称为元语言。元语言也许像普通语言一样自然，或它可能部分形式化，但它通常比起受检验系统的形式语言来得较不正规化。此形式语言称为对象语言，意指问题议论的对象。

某些理论学家将形式主义粗略视为形式系统的同义词，但此词也同时指称特定风格的符号，例如保罗·狄拉克的狄拉克符号。

在数学中的形式系统由以下要素组成：

  1. 一群有限数量，且可用于建构公式的符号集合。
  2. 一套文法，说明了如何以上述符号建构形式良好的公式（通称合式公式，或Well-formed formula，wff）。通常会要求有一个判定某公式是否为形式良好的算法。
  3. 一群公设或公理模式的陈述，每个公理都必须是合式公式。
  4. 一群推理规则。

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