公理化集合论

集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）。实际上，这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。

1. 外延公理：（Axiom of extensionality）两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。
2. 分类公理：（Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension）或称子集公理，给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
3. 配对公理：（Axiom of pairing）假如x, y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的仅有元素。
4. 并集公理：（Axiom of union）每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一个集合x，也总存在着另一个集合y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。
5. 空集公理：存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个空集合为{ }。可由分类公理得出。
6. 无穷公理：（Axiom of infinity）存在着一个集合x，空集{ }为其元素之一，且对于任何x中的元素y，y ∪ {y}也是x的元素。
7. 替代公理：（Axiom schema of replacement）
8. 幂集公理：（Axiom of power set）每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。
9. 正规公理：（Axiom of regularity / Axiom of foundation）每一个非空集合x，总包含着一元素y，使x与y为不交集。
10. 选择公理：（Axiom of choice，Zermelo's version）给出一个集合x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y（x的一个选择集合），包含x每一个元素的仅仅一个元素。

• Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
• Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. 编辑
  • 可替代的集合论
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  外部链接

  • Metamath （页面存档备份，存于互联网档案馆）: A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic. Principia Mathematica done right.
  • Stanford Encyclopedia of Philosophy:
    • Set Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆） -- by Thomas Jech.
    • Quine's New Foundations （页面存档备份，存于互联网档案馆） -- by Thomas Forster.
    • Alternative axiomatic set theories^{[失效链接]} -- by Randall Holmes.
  • Randall Holmes's bibliography （页面存档备份，存于互联网档案馆） for set theories allowing a universal set.
  • Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory." Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane), topos theory, Kripke-Platek set theory, Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman, and systems similar to 新基础集合论.
  • Axioms of Set Theory at ProvenMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）

  For information on the history of set theory notation, see:

  • The history of set theory and logic notation.