幂集公理

数学中,幂集公理公理化集合论Zermelo-Fraenkel公理之一。

在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中,这个公理读做:

或简写为:

换句话说:

给定任何集合A有着一个集合使得,给定任何集合xx的成员,当且仅当xA的子集。

通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合A幂集。所以这个公理的本质是:

所有集合都有一个幂集。

幂集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论的公理化中。

推论

幂集公理允许定义两个集合  笛卡儿积

 

笛卡儿积是个集合因为

 

你可以递归定义集合的任何有限搜集的笛卡儿积:

 

注意笛卡儿积的存在性在不包含幂集公理的Kripke-Platek集合论英语Kripke–Platek set theory中是可证明的。

引用

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. PlanetMathAxiom of power set》的内容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。

注释