外延公理

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，它读做:

${\displaystyle \forall A,\forall B:A=B\iff (\forall x:x\in A\iff x\in B)}$ 

换句话说:

给定任何集合${\displaystyle A}$ 和任何集合${\displaystyle B}$ ，${\displaystyle A}$ 等于${\displaystyle B}$ ，当且仅当给定任何集合${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle A}$ 的一个成员当且仅当${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle B}$ 的一个成员。

（这里的${\displaystyle x}$ 是集合不是本质性的，但在ZF中所有东西都是集合。参见下面的带有基本元素的集合论章节）。

要理解这个公理，注意上述符号陈述中圆括号内的子句简单的声称了 A 和 B 有完全相同的成员。所以，这个公理实际上说的是两个集合相等，当且仅当它们有完全相同的成员。它的本质是:

集合唯一的由它的成员来决定。

外延性公理可以同 ${\displaystyle \exists A,\forall x:x\in A\iff P(x)}$  形式的概括陈述一起使用，这里的${\displaystyle P}$ 是不提及${\displaystyle A}$ 或${\displaystyle x}$ 的任何一元谓词，来定义一个唯一集合${\displaystyle A}$ ，它的成员完全是满足谓词${\displaystyle P}$ 的集合。我们可以接着为${\displaystyle A}$ 介入新的符号；普通数学中的定义最终以这种方式工作的，当它们的陈述简化到纯集合论术语的时候。

外延性公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论的公理化中。但是对于某些使用需要修改。

上面给出的公理假定等号是谓词逻辑的基本符号。某些公理化集合论的做法是不做这个假定：有的不把上述陈述作为公理，而是作为对等号的定义。那么，就必须连同来自谓词逻辑中有关等式的公理，作为关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理仍能从这个定义得出；余下的一个是

${\displaystyle \forall A,\forall B:(\forall x:x\in A\iff x\in B)\Rightarrow (\forall C:A\in C\iff B\in C)}$ 

而这就成为了所谓的外延性公理。

基本元素是自身不是集合的一个集合的一个元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中没有基本元素，但在某些可替代的集合论的公理化中会有它们。基本元素可以被当作不同于集合的逻辑类型；在这种情况下，如果${\displaystyle A}$ 是基本元素，则${\displaystyle x\in A}$ 没有意义，所以外延性公理只适用于集合。

作为选择之一，在无类型逻辑中我们可以要求${\displaystyle x\in A}$ 在${\displaystyle A}$ 是基本元素的时候为假。在这种情况下，平常的外延性公理将蕴涵所有基本元素等于空集。为了避免这样，我们可以修改外延性公理为只适用于非空集合，并把它读为:

${\displaystyle \mathrm{\forall }A,\mathrm{\forall }B,\mathrm{\exists }x:x\in A⟹(A=B⟺(\mathrm{\forall }y:y\in A⟺y\in B)).}${\displaystyle \forall A,\forall B,\exists x:x\in A\implies (A=B\iff (\forall y:y\in A\iff y\in B)).}  

就是说:

给定任何集合${\displaystyle A}$ 和任何集合${\displaystyle B}$ ，如果${\displaystyle A}$ 是非空集合(就是说存在着${\displaystyle A}$ 的一个成员${\displaystyle x}$ )，那么${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 是相等的，当且仅当它们有完全相同的成员。

另一个选择，在无类型逻辑中可定义${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle A}$ 是基本元素的时候自身是${\displaystyle A}$ 的唯一的元素。尽管这个方式可以胜任保存外延性公理，但基础公理反而需要调整。

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.