基本元素
在集合论中,基本元素(ur-element, 或urelement)是指那些自身不为集合,但可以是某个集合的元素的数学对象。就是说如果 U 是基本元素,则
- X ∈ U
这一说法是没有意义的,而
- U ∈ X
是完全合理的。
这不应该与空集混淆,当我们说
- X ∈
这是逻辑上合理的,只不过是假的。
基本元素有时也叫做“原子”或“个体”。
基本元素和公理化
在叫做 Zermelo-Fraenkel 集合论的标准公理化集合论中,没有基本元素。但是确实有其他公理化集合论使用基本元素,比如:带有基本元素的 Kripke-Platek 集合论。在带有类型的集合论系统中,基本元素有时是类型 0 的对象,所以叫做“原子”。在这种理论中,外延公理需要特殊的形式化和处理。
现已发现,向 NF 系统加进基本元素而生成的 NFU系统会产生某些令人惊讶的结论。特别是,NFU 已知是一致的,尽管与 NF 的相对一致性仍是未解的问题。此外,NFU 一致于选择公理而 NF 则不然。
引用
- Ronald Jensen (1969) "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF," Synthese 19: 250-63.
- Mendelson, Elliot (1997) Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. London: Chapman & Hall.
- Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
- 埃里克·韦斯坦因. Urelement. MathWorld.