空集

空集的标准符号由尼古拉·布尔巴基小组创造，写作∅（${\displaystyle \varnothing }$ ），首先见于他们在1939年出版的《数学原本卷一：集合论》（Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats）。这符号也可写作${\displaystyle \emptyset }$ ，有时候采用近似字符“Ø”，也可以使用大括号${\displaystyle \{\;\}}$ 表示。

这符号源自北欧语言的拉丁字母“Ø”，但常被误会为希腊字母“φ”。（φ有两个写法：小写的${\displaystyle \varphi }$ 和缩小了的大写${\displaystyle \phi \,}$ ，后者常被误用为空集符号。${\displaystyle \phi \,}$ 的中间为一长竖，中间的圈也较小，与${\displaystyle \varnothing }$ 的斜线和大圆不同。）。

提出用北欧字母为符号的，是布尔巴基小组成员安德烈·韦伊。他在自传写道：

空集符号∅的Unicode编码为U+2205，TeX代码是\emptyset或\varnothing（后者是AMS符号，很多人较喜欢后者的字形^[2]）。

（这里采用数学符号）。

• 对任意集合${\displaystyle A}$ ，空集是${\displaystyle A}$ 的子集；

  ${\displaystyle \forall A:\varnothing \subseteq A}$ 

• 对任意集合${\displaystyle A}$ ，空集和${\displaystyle A}$ 的并集为${\displaystyle A}$ ：

  ${\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}$ 

• 对任意集合${\displaystyle A}$ ，空集和${\displaystyle A}$ 的交集为空集：

  ${\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }$ 

• 对任意集合${\displaystyle A}$ ，空集和${\displaystyle A}$ 的笛卡尔积为空集：

  ${\displaystyle \forall A:A\times \varnothing =\varnothing }$ 

• 空集的唯一子集是空集本身：

  ${\displaystyle \forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing }$ 

• 空集的幂集是仅包含空集的集合：

  ${\displaystyle 2^{\varnothing }=\left\{\varnothing \right\}}$ 

• 空集的元素个数（即它的势）为零；特别是，空集是有限的：

  ${\displaystyle \mathrm {card} \left(\varnothing \right)=0}$ 

集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。

考虑空集为实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是紧致集合，因为凡有限集合都是紧致的。

空集的闭包是空集。

根据定义，空集有0个元素，或者称其势为0。然而，这两者的关系可能更进一步：在标准的自然数的集合论定义中，0被定义为空集。

空集不是“无”；它是“内部”没有元素的集合，但这个集合是“存在”的，即“有”这个集合。这通常是初学者的一个难点。可以将集合想象成一个装有其元素的袋子──袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的。

有些人会想不通上述第一条性质，即空集是任意集合${\displaystyle A}$ 的子集。按照子集的定义，这条性质是说${\displaystyle \left\{\right\}}$ 的每个元素x都属于${\displaystyle A}$ 。若这条性质不为真，那{}中至少有一个元素不在${\displaystyle A}$ 中。由于${\displaystyle \left\{\right\}}$ 中没有元素，也就没有${\displaystyle \left\{\right\}}$ 的元素不属于${\displaystyle A}$ 了，得到${\displaystyle \left\{\right\}}$ 的每个元素都属于${\displaystyle A}$ ，即${\displaystyle \left\{\right\}}$ 是${\displaystyle A}$ 的子集。

空集（作为集合）上的运算也可能使人迷惑。（这是一种“空运算”。） 例如：空集元素的和为0（“空和”），而它们的积为1（见空积）。这可能看上去非常奇怪，空集中没有元素，他们是怎么相加和相乘的呢？ 最终，这些运算的结果更多被看成是运算的问题，而不是空集的。比如，可以注意到0是加法的单位元，而1是乘法的单位元。

在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论的公理化集合论中，空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分类公理，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若${\displaystyle A}$ 是集合，则分离公理允许构造集合${\displaystyle B=\left\{x\in A|x\neq x\right\}}$ ，它就可以被定义为空集。

若A为集合，则恰好存在一个从${\displaystyle \left\{\right\}}$ 到${\displaystyle A}$ 的函数${\displaystyle f}$ ，即空函数。故此，空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。

空集只能通过一种方式转变为拓扑空间，即通过定义空集为开集；这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

尽管空集在数学中是一个标准，并被广泛接受，仍然有人对它表示怀疑。

Jonathan Lowe认为，这一概念“无疑是数学历史上的里程碑，……；不需要假设其在计算时的有效性要基于其确实表达了某些对象”，但在另一方面，“我们所知的空集只是它 (1)是个集合，(2)没有元素，(3)在没有元素的集合中唯一。然而，有很多东西‘没有元素’，在集合论角度而言，叫做非集合。为什么它们没有元素是显而易见的，因为它们不是集合。不清楚的是，为什么在集合中，没有元素的集合是唯一的。仅仅通过约束是不可能将这么一个实体变出来的。”^[3]

在"To be is to be the value of a variable…"，Journal of Philosophy，1984（在书Logic, Logic and Logic中再次发表）中，小George Boolos认为许多集合论中的结论，也可以透过对个体进行复数量化（英语：Plural quantification）来得到，所以无需把集合具体化为包含其他实体作为元素的实体。^[4]